Problema 7.38 Duas placas de metal muito grandes são mantidas a uma distância d uma da outra, uma em potencial nulo e a outra em potencial V 0 (Figura 7.48). Uma esfera de metal de raio a ( a ≪ d ) é dividida em dois e um dos hemisférios é colocado na placa aterrada, de forma que seu potencial também é nulo. Se a região entre as placas for preenchida com material mal condutor, de condutividade σ , que corrente flui para o hemisfério? [Resposta: ( 3 π a 2 σ / d ) V 0 . Dica: estude o Exemplo 3.8.]

Passo 1

Olá pessoal, bora para mais uma??

De início conseguimos perceber que o potencial e o campo nesta configuração é idêntico aos da metade superior do exemplo 3.8, com isso temos que:

I = ∫ J ∙ d a = σ ∫ E ∙ d a

Onde a integral está sobre o hemisférico fora da esfera, mas iremos fechar essa semiesfera na parte de baixo.

Com isso temos que:

I =   σ ∫ E ∙ d a =

I = σ ϵ 0 ∫ σ e d a

Onde σ e   é a densidade de carga elétrica na superfície do hemisfério e sabemos que σ e = 3 ϵ 0 E 0 c o s θ .

Passo 2

Voltando na expressão para I, temos que:

I = σ ϵ 0 ∫ 3 ϵ 0 E 0 c o s θ a 2 s e n θ d θ d ϕ =

I = 3 σ E 0 a 2 2 π ∫ 0 π 2 s e n θ c o s θ d θ = 3 σ E 0 π a 2

Mas para o caso de E 0 = V 0 / d , temos que:

I = 3 σ V 0 d π a 2

Assim finalizamos mais uma questão! Até a próxima!

Resposta

I = 3 σ V 0 d π a 2