O problema anterior traz um modelo artificial de um capacitor carregando, criado de forma a evitar as complicações associadas ao espalhamento da corrente sobre a superfície das placas. Para um modelo mais realista, imagine fios finos que se conectam ao centro das placas (Figura 7.44a). Novamente, a corrente I é constante, o raio do capacitor é a, e a separação das placas

e w ≪ a . Assuma que a corrente flui sobre as placas de forma que a carga superficial seja uniforme, a qualquer tempo dado e que ela é nula em t= 0.

  1. Encontre o campo elétrico entre as placas como função de t.
  2. Encontre a corrente de deslocamento através de um círculo de raio s no plano que está a meio caminho entre as placas. Usando esse círculo como a sua ‘espira amperiana’ e a superfície plana que ela abarca, encontre o campo magnético a uma distância s do eixo.
  3. Repita a parte (b), mas desta vez use a superfície cilíndrica da Figura 7.44b, que é aberta na extremidade direita e se estende para a esquerda através da placa e termina fora do capacitor. Observe que a corrente de deslocamento através dessa superficie é zero e que há duas contribuições para I e n c .

Passo 1

Olá pessoal, bora para mais uma!?

Para encontrar o campo elétrico da letra A, temos que

E = σ t ϵ 0 z ^

É dado no enunciado que a carga superficial seja uniforme, a qualquer tempo dado e que ela é nula em t= 0, com isso podemos escrever:

σ t = Q t π a 2

Como I = d Q / d t , ou seja:

d Q = I d t

Como I é sempre constante, temos que, Q=It, com isso e com a expressão de   σ t podemos voltar na equação do campo, assim temos:

E = I t ϵ 0 π a 2 z ^

Passo 2

Agora na letra B queremos encontrar a corrente de deslocamento para posteriormente encontrar o campo magnético, assim temos que:

I d e n v = J d π s 2

Substituindo J d , temos que:

I d e n v = ϵ 0 ∂ E ∂ t π s 2

Substituindo o campo elétrico obtido no item A, temos que:

I d e n v = ϵ 0 ∂ ∂ t I t ϵ 0 π a 2 π s 2

Ou seja, temos que:

I d e n v = I s 2 a 2

Agora que temos a corrente, podemos partir para o campo, ou seja:

∮ B ∙ d l = μ 0 I d e n v

Substituindo I d e n v , temos que:

B 2 π s = μ 0   I s 2 a 2

B = μ 0   I s 2 π a 2 ϕ ^

Passo 3

Agora na Letra C vamos refazer o que fizemos na letra B, porem para a ilustração da fig. 7.44b, temos uma corrente que flui radialmente para fora sobre a placa da esquerda e uma corrente que atravessa o círculo de raio s. Com isso conseguimos expressar a densidade de carga em função do tempo, ou seja:

σ t = I - I s t π s 2

Como temos que isso não depende de s, fazemos que, I - I s = β s 2 . Mas temos que I(a)=0 assim I = β a 2 , ou seja, β = I / a 2 , com isso:

I s =   I - β s 2

I s = I - I a 2 s 2

I s = I 1 - s 2 a 2

E agora podemos calcular o campo magnético, ou seja:

B 2 π s =   μ 0 I e n v

B 2 π s = μ 0 I - I s

Substituindo I ( s ) , temos:

B 2 π s = μ 0 I - I 1 - s 2 a 2

B 2 π s = μ 0 s 2 a 2

Assim temos:

B = μ 0 2 π s a 2 ϕ ^

Assim finalizamos mais uma, até a próxima!

Resposta

  1. E = I t ϵ 0 π a 2 z ^
  2. I d e n v = I s 2 a 2 , B = μ 0   I s 2 π a 2 ϕ ^
  3. B = μ 0 2 π s a 2 ϕ ^