(a) Repita o Problema 11.19, mas desta vez deixemos que a força externa seja uma função delta de Dirac: F t = k δ ( t ) (para alguma constante k ). [Observe que a aceleração agora é descontínua em t = 0 (embora a velocidade ainda seja obrigatoriamente contínua): use o método do Problema 11.19 (a) Para mostrar que ∆ a = - k / m τ . Neste problema só existem dois intervalos a considerar: (i) t < 0 e (ii) t > 0 .]

(b) Como no Problema 11.27, verifique se a energia é conservada neste processo.

Passo 1

(a)

a = τ a ˙ + k m δ t ⇒ ∫ - ϵ ϵ a t d t = v ϵ - v - ϵ

= τ ∫ - ϵ ϵ d a d t d t + k m ∫ - ϵ ϵ δ ( t ) d t = τ a ϵ - a ( - ϵ ) + k m

Se a velocidade é contínua, então v ϵ = v ( - ϵ ) , logo,

a ϵ - a - ϵ = - k m τ

Quando t < 0 , a = τ a ˙ ⇒ a t = A e t / τ ; quando t > 0 , a = τ a ˙ ⇒ a t = B e t / τ ; ∆ a = B - A = - k m τ ⇒ B = A - k m τ , então, a solução geral é

a t = A e t / τ ,               t < 0 ; A - k / m τ e t / τ ,               t > 0 .

Podemos fazer A = k / m τ ; para eliminar a pré-aceleração que precisaríamos fazer A = 0 . Logo, você não pode fazer as duas coisas. Se você escolher eliminar uma das funções de a ( t ) , então você terá,

a t = k / m τ e t / τ ,               t < 0 ; 0 ,               t > 0 .

v t = ∫ - ∞ t a ( t ) d t = k m τ ∫ - ∞ t e t / τ d t

= k / m τ τ e t / τ

Para t < 0 .

Para t < 0 ,

v t = v 0 + ∫ 0 t a ( t ) d t = v 0 = k m

Então,

v t = k / m e t / τ ,               t < 0 ; k / m ,               t > 0 .

Para uma partícula não carregada, nós teríamos,

a t = k m δ ( t )

v t = ∫ - ∞ t a ( t ) d t = 0 ,               t < 0 ; ( k / m ) ,               t > 0 .

Passo 2

(b)

W e x t = ∫ F d x = ∫ F v d t = k ∫ δ t v ( t ) d t = k v 0 = k 2 m

W c i n = 1 2 m v f 2 = 1 2 m k m 2 = k 2 2 m

W e x t = ∫ P r a d d t = μ 0 q 2 6 π c ∫ a t 2 d t

= τ m k m τ 2 ∫ - ∞ 0 e 2 t / τ d t = k 2 / m τ τ 2 e 2 t τ ​ - ∞ 0

= k 2 m τ τ 2 = k 2 2 m

Claramente, W e x t = W c i n + W r a d .

Resposta

Ver Passo 1 e 2.