(a) Repita o problema 12.2(a) usando a definição (incorreta) p = m u , mas com a regra de adição de velocidades de Einstein (correta). Observe que se o momento (assim definido) é conservado em S , ele não é conservado em S - . Assuma que todo movimento ocorre ao longo do eixo x .

(b) Agora faça o mesmo usando a definição correta, p = m η . Observe que se o momento (assim definido) for conservado em S será automaticamente conservado em S - . [Dica: use a Equação 12.43 para transformar a velocidade própria.] O que você deve assumir sobre a energia relativística?

Passo 1

(a) m A u A + m B u B = m C u C + m D u D ;

u i = u - i + v 1 + u - i v c 2

m A u - A + v 1 + u - A v c 2 + m B u - B + v 1 + u - B v c 2 = m C u - C + v 1 + u - C v c 2 + m D u - D + v 1 + u - D v c 2

Como os denominadores são diferentes, nós não podemos concluir isso,

m A u - A + m B u - B = m C u - C + m D u - D

Como no exemplo explícito, suponha que todas as massas são iguais, e u A = - u B = v ; u C = u D = 0 . Trata-se de uma colisão simétrica "completamente inelástica" em S , e o momento é claramente conservado ( 0 = 0 ) . Mas a regra de adição de velocidade de Einstein dá u - A = 0 ,   u - B = - 2 u / ( 1 + u 2 / c 2 ) , u - C = u - D = - u , então em S - o momento (incorretamente definido) não é conservado:

m - 2 u 1 + u 2 / c 2 ≠ - 2 m u

Passo 2

(b) m A η A + m B η B = m C η C + m D η D ;

η i = γ η - i + β η - i 0

(Transformação inversa de Lorentz)

m A γ η - A + β η - A 0 + m B γ η - B + β η - B 0 = m C γ η - C + β η - C 0 + m D γ η - D + β η - D 0

m A η - A + β η - A 0 + m B η - B + β η - B 0 = m C η - C + β η - C 0 + m D η - D + β η - D 0

m A η - A + m B η - B + β m A η - A 0 + m B η - B 0 = m C η - C + m D η - D + β m C η - C 0 + m D η - D 0

Mas m i η i 0 = p i 0 = E i / c , então se a energia é conservada em S - E - A + E - B = E - C + E - D , então também é o momento (corretamente definido):

m A η - A + m B η - B = m C η - C + m D η - D

Resposta

Ver Passo 1 e 2.