Resolva a equação de Laplace pela separação de variáveis em coordenadas c i l í n d r i c a s assumindo que não há dependência em z (simetria cilíndrica). [Certifique-se de encontrar t o d a s   as soluções para a equação radial; em particular, seu resultado deve acomodar o caso de uma linha de carga infinita, para qual (é claro) já sabemos a resposta.]

Passo 1

Faaala, pessoal! Bora pra cima dessa questão. O enunciado nos pede para resolver a equação de Laplace em coordenadas cilíndricas que tema seguinte forma:

∇ 2 V =   1 ρ ∂ ∂ ρ   ρ ∂ V ∂ ρ + 1 ρ 2 ∂ 2 V ∂ ϕ 2 + ∂ V 2 ∂ z 2

Considerando que o problema nos pede independência em z (ou total simetria nessa) de tal forma que V = ρ , ϕ , o que nos leva a uma redução da equação para a seguinte forma:

1 ρ ∂ ∂ ρ   ρ ∂ V ∂ ρ + 1 ρ 2 ∂ 2 V ∂ ϕ 2 = 0

Agora, utilizando a separação de variáveis a seguir:

V ρ , ϕ = R ( ρ ) Ф ( ϕ )

Com isso nossa equação de Laplace ficará da seguinte forma:

Ф ρ ∂ ∂ ρ   ρ ∂ R ∂ ρ     + R ρ 2 ∂ 2 Ф ∂ ϕ 2 = 0

Agora, podemos multiplicar a equação por ρ 2 e dividi-la por V = R   Ф , para termos:

ρ R ∂ ∂ ρ ρ ∂ R ∂ ρ + 1 Ф ∂ 2 Ф ∂ ϕ 2 = 0  

Como o primeiro termo agora só envolve a variável ρ e o segundo só envolve a variável ϕ , vamos escolher uma constante de separação k 2 para separar a equação em duas:

ρ R ∂ ∂ ρ ρ ∂ R ∂ ρ k 2 + 1 Ф ∂ 2 Ф ∂ ϕ 2 k 2 = 0

Agora, podemos separar a equação em duas partes já que os dois termos precisam dar zero, e assim teremos:

ρ 2 d 2 R d ρ 2 + ρ d R d ρ - R k 2 = 0

∂ 2 Ф ∂ ϕ 2 + k 2 Ф = 0

Agora resolveremos essas duas equações considerando k = 0 . Com essa consideração as equações ficaram da seguinte forma:

ρ R d d ρ   ρ d R d ρ = 0

∂ 2 Ф ∂ ϕ 2 = 0

Agora que temos as duas equações, podemos encontrar as soluções associadas a elas. A equação radial R ( ρ ) possui solução R ρ = A 0 + B 0 ln ⁡ ρ e a equação em ϕ possui solução linear Ф ϕ = C 0 + D 0 ϕ . As nossas equações devem obedecer a condições de contorno periódicas, de tal forma que Ф ϕ =   Ф ϕ + 2 π . Com isso, a solução linear para p h i   não se aplica a esta condição, portanto, para k = 0 teremos apenas a solução de R ( ρ ) para nossa equação diferencial:

V ρ ,   ϕ = A 0 + B 0 ln ⁡ ρ

Que representa o caso de uma linha de carga infinita (um potencial elétrico de um fio de tamanho infinito e fino com densidade de carga linear uniforme)

Passo 2

Agora, resolveremos para um k qualquer. Para um k qualquer a equação de R ( ρ ), tem a seguinte forma:

ρ 2 d 2 R d ρ 2 + ρ d R d ρ - R k 2 = 0

Essa é uma equação do tipo Cauchy-Euler. Para resolver esse tipo de equação, podemos substituir a variável ρ por e t . Utilizando a regra da cadeia, teremos:

d R d ρ = d t d ρ d R d t = 1 ρ d R d t

d 2 R d t 2 =   - 1 ρ 2 d R d t - d 2 R d t 2

Substituindo na equação radial, teremos:

d 2 R d t 2 - R k 2 = 0

Agora, basta encontrarmos a solução para a equação característica, que tem a seguinte forma:

r 2 - k 2 = 0

A raízes dessa equação, vão ser:

r 1 = k             e               r 2 =   - k

A solução desse tipo de equação diferencial tem a seguinte forma:

R ρ = A ρ k + B ρ - k

Passo 3

A segunda equação que obtivemos no início

∂ 2 Ф ∂ ϕ 2 + k 2 Ф = 0

É uma equação harmônica que tem a sua solução da seguinte forma:

Ф ϕ = C s e n   k ϕ + D c o s   k ϕ

E por fim, basta juntarmos todas as soluções obtidas para as duas equações, para chegarmos solução geral da equação de Laplace do Início:

V ρ , ϕ = A 0 + B 0 ln ⁡ ρ ∑ k = 1 ∞ ( A ρ k + B ρ - k ) ( s e n   k ϕ + D c o s   k ϕ )  

E chegamos ao fim da questão, galera! Até a próxima 😊

Resposta

V ρ , ϕ = A 0 + B 0 ln ⁡ ρ ∑ k = 1 ∞ ( A ρ k + B ρ - k ) ( s e n   k ϕ + D c o s   k ϕ )