Resolva a equação de Laplace pela separação de variáveis em coordenadas assumindo que não há dependência em (simetria cilíndrica). [Certifique-se de encontrar as soluções para a equação radial; em particular, seu resultado deve acomodar o caso de uma linha de carga infinita, para qual (é claro) já sabemos a resposta.]
Passo 1
Faaala, pessoal! Bora pra cima dessa questão. O enunciado nos pede para resolver a equação de Laplace em coordenadas cilíndricas que tema seguinte forma:
Considerando que o problema nos pede independência em (ou total simetria nessa) de tal forma que o que nos leva a uma redução da equação para a seguinte forma:
Agora, utilizando a separação de variáveis a seguir:
Com isso nossa equação de Laplace ficará da seguinte forma:
Agora, podemos multiplicar a equação por e dividi-la por , para termos:
Como o primeiro termo agora só envolve a variável e o segundo só envolve a variável , vamos escolher uma constante de separação para separar a equação em duas:
Agora, podemos separar a equação em duas partes já que os dois termos precisam dar zero, e assim teremos:
Agora resolveremos essas duas equações considerando . Com essa consideração as equações ficaram da seguinte forma:
Agora que temos as duas equações, podemos encontrar as soluções associadas a elas. A equação radial possui solução e a equação em possui solução linear . As nossas equações devem obedecer a condições de contorno periódicas, de tal forma que . Com isso, a solução linear para não se aplica a esta condição, portanto, para teremos apenas a solução de para nossa equação diferencial:
Que representa o caso de uma linha de carga infinita (um potencial elétrico de um fio de tamanho infinito e fino com densidade de carga linear uniforme)
Passo 2
Agora, resolveremos para um qualquer. Para um qualquer a equação de ), tem a seguinte forma:
Essa é uma equação do tipo Cauchy-Euler. Para resolver esse tipo de equação, podemos substituir a variável por . Utilizando a regra da cadeia, teremos:
Substituindo na equação radial, teremos:
Agora, basta encontrarmos a solução para a equação característica, que tem a seguinte forma:
A raízes dessa equação, vão ser:
A solução desse tipo de equação diferencial tem a seguinte forma:
Passo 3
A segunda equação que obtivemos no início
É uma equação harmônica que tem a sua solução da seguinte forma:
E por fim, basta juntarmos todas as soluções obtidas para as duas equações, para chegarmos solução geral da equação de Laplace do Início:
E chegamos ao fim da questão, galera! Até a próxima 😊