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Enunciado

Física - Eletrodinâmica - David J. Griffiths- Ed: 3º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 21

A – Se A e B são duas funções vetoriais, o que a expressão A ∙ ∇ B significa? (Ou seja, quais são suas componentes x , y e z em termos das componentes cartesianas de A , B e ∇ ?)

B – Calcule ( r → ∙ ∇ ) r ^ , onde r ^ é o vetor unitário definido na Equação 1.21.

C – Para as funções do Problema 1.15, calcule v a ∙ ∇ v b .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A – Bem, essa questão é mais direta, então temos

A ∙ ∇ B = A x ∂ B x ∂ x + A y ∂ B x ∂ y + A z ∂ B x ∂ z x ^ + A y ∂ B y ∂ x + A y ∂ B y ∂ y + A z ∂ B y ∂ z y ^ + A x ∂ B z ∂ x + A y ∂ B z ∂ y + A z ∂ B z ∂ z z ^

B - Vamos calcular o componente r ^ , com isso, nós temos que

r ^ = r → r = x i ^ + y j ^ + z k ^ x 2 + y 2 + z 2

Agora, se prepare, porque a expressão é bem longa, o componente x para ( r ^ ∙ ∇ ) é igual a

x x 2 + y 2 + z 2 ∂ ∂ x x x 2 + y 2 + z 2 + x x 2 + y 2 + z 2 ∂ ∂ y x x 2 + y 2 + z 2 +

x x 2 + y 2 + z 2 ∂ ∂ z x x 2 + y 2 + z 2 = 0

Isso tudo nos dá a seguinte forma

x y 2 + x z 2 - x y 2 - x z 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2 = 0

O mesmo acontecerá para y ^ e z ^ , para o componente de r ^ ∙ ∇ r ^ = 0 .

Passo 2

C – Nós temos que V a e V b são respectivamente

V a = x 2 x ^ + 3 x z 2 y ^ - 2 x z z ^ ;     V b = x y x ^ + 2 y z y ^ - 3 x z z ^

Então, nós temos que V a ∙ ∇ V b é igual a

  V a ∙ ∇ V b = x 2 y + 3 x 2 z 2 - 2 x z 0 x ^ + 3 × z 2 2 z - ( 2 x z ) ( 2 y ) ) y ^ +

x 2 3 z + 3 x z 2 0 - 2 x z 3 x z ^

Com isso, obtemos o seguinte resultado

V a ∙ ∇ V b = x 2 y + 3 x 2 z 2 x ^ + 6 x z 3 - 4 x y z y ^ - 3 x 2 z z ^

Resposta

a )   A ∙ ∇ B = A x ∂ B x ∂ x + A y ∂ B x ∂ y + A z ∂ B x ∂ z x ^ + A y ∂ B y ∂ x + A y ∂ B y ∂ y + A z ∂ B y ∂ z y ^ + A x ∂ B z ∂ x + A y ∂ B z ∂ y + A z ∂ B z ∂ z z ^

b )   r ^ ∙ ∇ r ^ = 0

c )   V a ∙ ∇ V b = x 2 y + 3 x 2 z 2 x ^ + 6 x z 3 - 4 x y z y ^ - 3 x 2 z z ^

.