Segundo a lei de Snell, quando a luz passa de um meio oticamente denso para outro menos denso ( n 1 > n 2 ) o vetor de propagação k desvia-se afastando-se de normal. Em particular, se a luz incide no ângulo crítico

θ c = sin - 1 ⁡ n 2 n 1 ,

Então θ t = 90 ° , e raio transmitido simplesmente passa rasante à superfície. Se θ 1 exercer θ c , não haverá raio retratado de forma alguma, somente um raio refletindo (esse é o fenômeno de reflexão interna total, no qual os tubos de luz e as fibras óticas se baseiam). Mas os campos não são nulos no meio 2 ; o que obtemos é a chamada onda evanescente, que é rapidamente atenuada e não transporta energia para o meio 2 19 .

Uma maneira rápida de construir a onda evanescente é simplesmente citar os resultados de k t = w n 2 c ,

k t = k t sin ⁡ θ t x - + cos ⁡ θ t z - ;

A única alteração é que,

sin ⁡ θ t = n 1 n 2 sin ⁡ θ 1  

Agora é maior que 1 e

cos ⁡ θ t = 1 - sin 2 ⁡ θ t = i sin 2 ⁡ θ t - 1  

a) mostre que,

E - t r , t = E - 0 t e k z e i ( k x - w t )

k = w c n 1 sin ⁡ θ I 2 - n 2 2       e       k = w n 1 c sin ⁡ θ I

Esta é uma onda propagando-se na direção x.

b) observando que α é agora imaginário para calcular o coeficiente de reflexão para polarização paralela ao plano incidente.

c) faça o mesmo para a polarização perpendicular ao plano de incidência.

d) em caso de polarização perpendicular ao plano de incidência, mostre que os campos evanescentes reais são

E r , t = E 0 e - k t cos ⁡ k x - w t y ,

B r , t = E 0 w e - k z [ k sin ⁡ k x - w t x + k cos ⁡ ( k x - w t ) z

e) verifique se os campos em (d) satisfazem todas equações de Maxwell.

f) para os campos em (d), construa o vetor de P o y n t i n g e mostre que, na média, não há transmissão de energia na direção z .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão do livro David J. Griffiths de Eletrodinâmica segundo a lei de Snell, quando a luz passa de um meio oticamente denso para outro menos denso ( n 1 > n 2 ) o vetor de propagação k desvia-se afastando-se de normal. Em particular, se a luz incide no ângulo crítico

θ c = sin - 1 ⁡ n 2 n 1 ,

Então θ t = 90 ° , e raio transmitido simplesmente passa rasante à superfície. Se θ 1 exercer θ c , não haverá raio retratado de forma alguma, somente um raio refletindo (esse é o fenômeno de reflexão interna total, no qual os tubos de luz e as fibras óticas se baseiam). Mas os campos não são nulos no meio 2 ; o que obtemos é a chamada onda evanescente, que é rapidamente atenuada e não transporta energia para o meio 2 19 .

Uma maneira rápida de construir a onda evanescente é simplesmente citar os resultados de k t = w n 2 c ,

k t = k t sin ⁡ θ t x - + cos ⁡ θ t z - ;

A única alteração é que,

sin ⁡ θ t = n 1 n 2 sin ⁡ θ 1  

Agora é maior que 1 e

cos ⁡ θ t = 1 - sin 2 ⁡ θ t = i sin 2 ⁡ θ t - 1  

a) mostre que,

E - t r , t = E - 0 t e k z e i ( k x - w t )

k = w c n 1 sin ⁡ θ I 2 - n 2 2       e       k = w n 1 c sin ⁡ θ I

Esta é uma onda propagando-se na direção x.

b) observando que α é agora imaginário para calcular o coeficiente de reflexão para polarização paralela ao plano incidente.

c) faça o mesmo para a polarização perpendicular ao plano de incidência.

d) em caso de polarização perpendicular ao plano de incidência, mostre que os campos evanescentes reais são

E r , t = E 0 e - k t cos ⁡ k x - w t y ,

B r , t = E 0 w e - k z [ k sin ⁡ k x - w t x + k cos ⁡ ( k x - w t ) z

e) verifique se os campos em (d) satisfazem todas equações de Maxwell.

f) para os campos em (d), construa o vetor de P o y n t i n g e mostre que, na média, não há transmissão de energia na direção z .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Sabendo que,

θ c = sin - 1 ⁡ n 2 n 1                       k t = k t ( sin ⁡ θ t x + cos ⁡ θ t z )

sin ⁡ θ t = n 1 n 2 sin ⁡ θ I                   cos ⁡ θ I = 1 - sin 2 ⁡ θ I = i sin 2 ⁡ θ t - 1

Temos que na letra (a) para mostrar que,

E - t r , t = E - 0 t e k z e i ( k x - w t )

k = w c n 1 sin ⁡ θ I 2 - n 2 2       e       k = w n 1 c sin ⁡ θ I

Temos,

k = k t sin ⁡ θ t = W n 2 c n 1 n 2 sin ⁡ θ I = W n 1 c sin ⁡ θ I

k = k t sin 2 ⁡ θ T - 1

Ficando,

k = w c   n 1 2 sin 2 ⁡ θ I - n 2 2         e       E t r , t = E 0 T e - k x e i ( k x - w t )

Na letra (b) para calcular o coeficiente de reflexão para polarização paralela ao plano de incidência, temos

R = E 0 R E 01 2 = α - β α + β ,   c o m   α = i a

Ficando,

R = i a - β i a + β - i a - β - i a + β = a 2 + β 2 a 2 + β 2 = 1

Na letra ( c ) para calcular a polarização perpendicular ao plano de incidência, temos

E 0 R = 1 - α β 1 + α β E 0

Ficando,

R = 1 - α β 1 + α β 2 = 1 - α β 1 + α β 2 = ( 1 - i a β ) ( 1 + i a β ) ( 1 + i a β ) ( 1 - i a β ) = 1

Passo 3

Na letra (d) para mostrar os campos evanescentes reais que são,

E r , t = E 0 e - k z cos ⁡ k x - w t y

B r , t = E 0 w e - k z [ k sin ⁡ k x - w t x + k cos ⁡ ( k x - w t ) z

Temos,

E r , t = E 0 T e - k t e i ( k x - w t ) ,     B r , t = 1 v 2   E 0 t e - k z e i k z - w t - i c k w n 2 x + c k w n 2 z

Na letra (e) para verificar se os campos em (d) satisfazem todas a equação de Maxwell, temos

∇   x   B = x y z ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z β x 0 β z = ∂ β z ∂ z - ∂ β z ∂ x y

Ficando,

k 2 - R 2 = w c 2 [ n 1 2 sin 2 ⁡ θ T - n 1 sin ⁡ θ T 2 + n 2 2 = n 2 w c 2 = w 2 e 2 μ 2

E por fim na letra (f) para construir o vetor de Poynting, temos

S = 1 μ 2 E   x   B = 1 μ 2 E 0 2 w e - 2 k z x y z 0 cos ⁡ ( k x - w t ) 0 k sin ⁡ ( k x - w t ) 0 k cos ⁡ ( k x - w t )

Ficando,

E 0 2 μ 2 w e - 2 π t ( k cos 2 ⁡ k x - w t x - k sin ⁡ k z - w t cos ⁡ k z - w t z

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) E 0 T e - k x e i ( k x - w t )

b) R = 1

c) R = 1

d) E r , t = E 0 T e - k t e i ( k x - w t ) ,     B r , t = 1 v 2   E 0 t e - k z e i k z - w t - i c k w n 2 x + c k w n 2 z

e) k 2 - R 2 = w 2 e 2 μ 2

f) E 0 2 μ 2 w e - 2 π t ( k cos 2 ⁡ k x - w t x - k sin ⁡ k z - w t cos ⁡ k z - w t z