Enunciado

Um sinal periódico dado por v s t = 10 V para 0 < t < 1 e 0 V para 1 < t < 2 é aplicado ao filtro passa-altas da figura 17.87. Determine o valor de R tal que o sinal de saída v 0 t tenha uma potência média de pelo menos 70 % da potência média do sinal de entrada.

Passo 1

O formato de v s t é apresentado na figura 17.1 do exemplo resolvido 17.1, exceto por sua magnitude que é multiplicada por 10 nesse caso. Sendo assim, já temos o formato para v 0 t cuja construção é feita no exemplo resolvido do livro. Assim, temos que v 0 t será dada por

v 0 t = 5 + 20 π ⋅ ∑ k = 1 ∞ 1 n ⋅ sin ⁡ n π t ,     n = 2 k - 1

A partir dessa expressão podemos extrair algumas informações que são

T = 2 ,     ω 0 = 2 π T ,     ω n = n ω 0 = 2 n π

Passando nosso indutor para impedância vamos ter

j ω n L = j 2 n π ;

A impedância pra parte mais direita do circuito é dada por

Z = 10 R ( 10 + R )

Sendo assim, temos, pelo divisor de tensão, que

V 0 = Z Z + j 2 n π ⋅ V s = 10 R 10 R + j 2 n π ⋅ 10 + R ⋅ V s

V 0 = 10 R ∠ - arctan ⁡ n π 5 R ⋅ 10 + R 100 R 2 + 4 n 2 π 2 ⋅ 10 + R 2 ⋅ V s

Dado que V s = 20 / n π ∠ 0 °

Passo 2

Para a fonte de corrente temos

I s = V s Z + j 2 n π = V s 10 R 10 + R + j 2 n π = 10 + R ⋅ 20 n π 10 R + j 2 n π ⋅ 10 + R

I s = 10 + R ⋅ 20 n π ∠ - arctan ⁡ n π 3 ⋅ 10 + R 100 R 2 + 4 n 2 π 2 ⋅ 10 + R 2

Dessa forma, temos que a potência vai ser dada por

p s = V d c ⋅ I d c + 1 2 ⋅ ∑ V n ⋅ I n ⋅ cos ⁡ θ n - ϕ n

Passo 3

Para o caso D C , L vai agir como um curto circuito, então, teremos

I s = 5 10 R 10 + R = 5 ⋅ ( 10 + R ) 10 R ,     V s = V 0 = 5

Assim, teremos nossa potência como sendo

p s = 25 ⋅ 10 + R 10 R + 1 2 20 π 2 ⋅ 10 + R ⋅ cos ⁡ arctan ⁡ π 5 ⋅ 10 + R 100 R 2 + 4 n 2 π 2 ⋅ 10 + R 2 + 10 π 2 ⋅ 10 + R 2 ⋅ cos ⁡ arctan ⁡ 2 π 5 ⋅ 10 + R 100 R 2 + 16 π 2 ⋅ 10 + R 2 + …

Lembrando que

p s = V d c R + 1 2 ⋅ ∑ n = 1 ∞ V o n R

p s = 25 R + 1 2 ⋅ 100 R 1 00 R 2 + 4 π 2 ⋅ 10 + R 2 + 100 R 100 R 2 + 10 π 2 ⋅ 10 + R 2 + …

Desejamos que a potência de saída p 0 seja 70 % de p s . Aqui vamos utilizar uma aproximação devido a complexidade dos termos (cada vez que eles aumentam no denominador o número como um todo vai diminuindo),sendo assim, vamos usar como uma forma de aproximação apenas o componente D C então teremos

25 R = 7 10 ⋅ 25 ⋅ 10 + R 10 R → 1 = 7 100 ⋅ 10 + R → 100 = 70 + 7 R

7 R = 30 → R = 30 7 ≈ 4.286   Ω

Resposta

R = 4.286 Ω

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