O sistema inercial S - move-se com velocidade constante v = β c cos ⁡ ϕ   x ^ + sin ⁡ ϕ   y ^ com relação a S. Seus eixos são paralelos um ao outro e sua origens coincidem em t = t - = 0 , como de costume. Encontre a matriz Λ (equação 12.25)

RESPOSTA:

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Como dito, os eixos são paralelos de forma que o ângulo formado pelo vetor é igual em ambos. Um esboço que representa essa situação é:

Onde:

X = cos ⁡ ϕ x ^ + sin ⁡ ϕ   y ^

Y =   - sin ⁡ ϕ   x ^ + cos ⁡ ϕ   y ^

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Usando a transformação de Lorentz da equação 12.18, temos:

X - = γ X - v t = γ cos ⁡ ϕ   x ^ + sin ⁡ ϕ   y ^ - β c t

Usando que v c = β

Y - = Y = - sin ⁡ ϕ   x ^ + cos ⁡ ϕ   y ^

Z - = Z = z

c t - = γ c t - β X = γ c t - β cos ⁡ ϕ x ^ + sin ⁡ ϕ   y ^

Passo 3

Rotacione de X - Y - para x - y - assim:

x - = cos ⁡ ϕ   X - - sin ⁡ ϕ   Y - = γ cos ⁡ ϕ   cos ⁡ ϕ   x ^ + sin ⁡ ϕ   y ^ - β c t - sin ⁡ ϕ - sin ⁡ ϕ   x ^ + cos ⁡ ϕ   y ^

Assim:

x - = γ cos 2 ⁡ ϕ + sin 2 ⁡ ϕ x ^ + γ - 1 sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ   y ^ - γ β cos ⁡ ϕ   ( c t )

E:

y - = sin ⁡ ϕ     X - + cos ⁡ ϕ   Y - = γ sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ   x ^ + sin ⁡ ϕ   y ^ - β c t + cos ⁡ ϕ - sin ⁡ ϕ   x ^ + cos ⁡ ϕ   y ^

Assim:

y - = γ - 1 sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ   x ^ + γ sin 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ y ^ - γ β sin ⁡ ϕ   ( c t )

Assim temos todas as componentes, isto é: c t - ,   x - ,   y - ,   z - , rearranjando de forma matricial:

Resposta