Enunciado

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desse livro

Para um sistema linear com entrada x ( t ) e saída y ( t ) , Determine a resposta a um impulso nos seguintes casos:

  1. x t = e - a t u t ,     y t = u t - u ( - t )
  2. x t = e - t u t ,     y t = e - 2 t u ( t )
  3. x t = δ t ,     y t = e - a t sin ⁡ b t u ( t )

Passo 1

Legal pessoal, vamos lá! Em questões que usaremos Fourier sempre é interessante que você tenha a tabelinha de propriedades! A gente faz pois isso facilita muito o seu trabalho e ajuda a memorizar. Fechou? Então vamos pra cima!

Passo 2

Primeiro, temos que para o item a),

y t = s g n   t → Y ω = 2 j ω ,     X ω = 1 a + j ω

Portanto, para o nosso caso,

H ω = Y ( ω ) X ( ω ) = 2 ( a + j ω ) j ω = 2 + 2 a j ω → h t = 2 δ t + a [ u t - u ( - t ) ]

Lembre-se que para a função de transferência, nem sempre precisaremos separar para ficar mais fácil achar a identidade! Vamos pra outra!

Passo 3

Para o item b), vamos partir do mesmo principio de entrada-saida!

X ω = 1 1 + j ω ,     Y ω = 1 2 + j ω

H ω = 1 + j ω 2 + j ω = 1 - 1 2 + j ω → h t = δ t - e - 2 t u ( t )

Passo 4

Por fim, o item c) é bem facinho. Basta pegar a definição:

h t = y t = e - a t s e n   b t   u ( t )

Resposta

a ) h t = 2 δ t + a [ u t - u ( - t ) ]

b ) h t = δ t - e - 2 t u ( t )

c ) h t = e - a t s e n   b t   u ( t )

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