Enunciado

Um sistema mecânico tem como modelo um circuito R L C em série. Deseja-se uma resposta com amortecimento supercrítico com constantes de tempo 0,1   m s e 0,5   m s . Se for usado um resistor de 50   k Ω , determine os valores de L e C .

Passo 1

As relações entre as constantes de tempo e as frequências naturais s 1 e s 2 são dadas por:

t 1 = 1 s 1       t 2 = 1 s 2

s 1 = 1 t 1 = - 1 0,1 × 10 - 3 = - 10000   r a d / s

s 2 = 1 t 2 = - 1 0,5 × 10 - 3 = - 2000   r a d / s

Passo 2

Como a resposta do circuito é amortecida supercrítica, a relação entre as frequências naturais com α e ω 0 é dada por:

s 1 = - α - α 2 - ω 0 2 … 1

s 2 = - α + α 2 - ω 0 2 … 2

Se somarmos s 1 e s 2

s 1 + s 2 = - 2 α

- 10000 - 2000 = - 2 α

α = 6000   r a d / s

Passo 3

Para um circuito R L C série, o fator de amortecimento α é dado por:

α = R 2 L

Substituindo os valores, temos:

6000 = 50 × 10 3 2 L

L = 4,167   H

A primeira frequência natural é dada por:

s 1 = - α - α 2 - ω 0 2

- 10000 = - 6000 - 6000 2 - ω 0 2

- 4000 = - 6000 2 - ω 0 2

Elevando ao quadrado dos dois lados da equação:

16 × 10 6 = 6000 2 - ω 0 2

ω 0 2 = 20 × 10 6 … 3

Mas,

ω 0 = 1 L C

ω 0 2 = 1 L C … ( 4 )

Igualando ( 3 ) e ( 4 ) ,

20 × 10 6 = 1 4,167 C

C = 12 × 10 - 9 = 12   n F

Resposta

Os valores são iguais a:

C = 12   n F

L = 4,167   H

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