Supondo que a corda 2 está mergulhada em meio viscoso (como melaço, por exemplo), o qual impõe uma força de arraste que é proporcional à sua velocidade (transversal):

∆ F a r r a s t e = - γ ∂ f ∂ t ∆ z

(a) Deduza a equação de onda modificada que descreve o movimento da corda.

(b) Resolva esta equação, assumindo que a corda oscila na frequência incidente ω . Ou seja, procure soluções na forma f z ,   t = e i ω t F ^ ( z ) .

(c) Mostre que as ondas são atenuadas (ou seja, sua amplitude diminui com o aumento de z ). Encontre a distância de penetração característica, na qual a amplitude 1 / ϵ do seu valor original em termo de γ , T , μ e ω .

(d) Se uma onda de amplitude A I , fase δ I = 0 e frequência ω incide a partir da esquerda (corda 1), encontre a amplitude e a fase da onda refletida.

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida!!! Enunciado gigante né? Hahaha.

Mas nós vamos fazer passo a passo de cada questão e irei explicando cada parte durante a resolução. Bora lá!!!

Passo 2

As forças na corda de comprimento d z são as forças elástica e viscosa:

d F = μ d z ∂ 2 u ∂ t 2 = T ∂ 2 u ∂ z 2 d z - γ d z ∂ u ∂ t

Onde β = γ / μ e c 2 = T / μ . Logo:

∂ 2 u ∂ t 2 + β ∂ u ∂ t = c 2 ∂ 2 u ∂ z 2

Pronto!! A equação acima é a nova equação de onda modificada.

Passo 3

Agora, assumindo uma solução com a forma:

u z ,   t = Z z e i ω t

Com isso, podemos obter a solução da EDO.

- Z ω 2 + i β ω Z = c 2 Z ' '

Z ' ' + ω c 2 1 - i β ω Z = 0

Z ' ' + α 2 Z = 0

Logo, a solução para Z é dada por:

                                                        Z z = A e i α z + B e - i α z                                   ( 1 )

Precisamos, então, encontrar as partes reais e imaginárias de α .

α = ω c 1 - i β ω = k + i κ

Elevando os dois lados ao quadrado.

k 2 - κ 2 + 2 i k κ = ω c 2 1 - i β ω

Juntando a parte real e a parte imaginária temos as duas equações abaixo:

k 2 - κ 2 = ω 2 c 2                                     2 k κ = - β ω c 2

Substituindo a κ da segunda equação na primeira.

k 2 - β 2 ω 2 4 k 2 c 4 = ω 2 c 2

k 4 - ω 2 c 2 k 2 - β 2 ω 2 4 c 4 = 0

Substituindo k 2 por l .

l 2 - ω 2 c 2 l = β 2 ω 2 4 c 4

Logo, as raízes são:

l = 1 2 ω 2 c 2 1 ± 1 + β 2 ω 2

k = ω c 1 2 1 + 1 + β 2 ω 2

κ = - β 2 c 1 2 1 + 1 + β 2 ω 2 - 1 / 2

Voltando para a solução (1) e usando α = k + i κ

Z z = A e i k z - κ z + B e - i k z + κ z

Quando k < 0 , o valor de A precisa ser 0 para não explodir a solução com z tendendo ao infinito. Portanto, a solução é:

Z z = B e - i k z + κ z

u z ,   t = B e κ z e i ( ω t - k z )

Passo 4

Pela resposta que encontramos na letra (b), as ondas são atenuadas com a distância penetrada no meio, e a distância de penetração é dada por:

κ z = - 1

z = - 1 κ = 2 c β 1 2 1 + 1 + β 2 ω 2

z = 2 T μ γ 1 2 1 + 1 + β 2 ω 2

Passo 5

As ondas incidente e refletida tem as seguintes equações:

u I = A e κ z e i ( ω t - k z ) = A e i ( ω t - α z )

u R = B e i ( ω t - i k 1 z )

Pela Equação 9.29, a relação entre duas amplitudes complexas é:

B = k 1 - α k 1 + α A

B A = k 1 - k - i κ k 1 + k + i κ

= k 1 - k - i κ k 1 + k - i κ k 1 + k 2 + κ 2

= k 1 2 - k 2 - κ 2 - 2 i κ k 1 k 1 + k 2 + κ 2

Portanto, a magnitude do coeficiente de reflexão é:

B A = k 1 2 - k 2 - κ 2 2 + 4 κ 2 k 1 2 k 1 + k 2 + κ 2

B A = k - k 1 2 + κ 2 k + k 1 2 + κ 2

E a mudança de fase é:

ϕ = arctan ⁡ I ( B / A ) R ( B / A ) = arctan ⁡ - 2 κ k 1 k 1 2 - k 2 - κ 2

Acabamos a questão, um pouco trabalhosa né?? Mas conseguimos!!!

Resposta

  1. ∂ 2 u ∂ t 2 + β ∂ u ∂ t = c 2 ∂ 2 u ∂ z 2
  2. u z ,   t = B e κ z e i ( ω t - k z )
  3. z = 2 T μ γ 1 2 1 + 1 + β 2 ω 2
  4. B A = k - k 1 2 + κ 2 k + k 1 2 + κ 2 ϕ = arctan ⁡ - 2 κ k 1 k 1 2 - k 2 - κ 2