Supondo que a corda 2 está mergulhada em meio viscoso (como melaço, por exemplo), o qual impõe uma força de arraste que é proporcional à sua velocidade (transversal):
(a) Deduza a equação de onda modificada que descreve o movimento da corda.
(b) Resolva esta equação, assumindo que a corda oscila na frequência incidente . Ou seja, procure soluções na forma .
(c) Mostre que as ondas são atenuadas (ou seja, sua amplitude diminui com o aumento de ). Encontre a distância de penetração característica, na qual a amplitude do seu valor original em termo de , , e .
(d) Se uma onda de amplitude , fase e frequência incide a partir da esquerda (corda 1), encontre a amplitude e a fase da onda refletida.
Passo 1
Falaaa, meu querido/minha querida!!! Enunciado gigante né? Hahaha.
Mas nós vamos fazer passo a passo de cada questão e irei explicando cada parte durante a resolução. Bora lá!!!
Passo 2
As forças na corda de comprimento são as forças elástica e viscosa:
Onde e . Logo:
Pronto!! A equação acima é a nova equação de onda modificada.
Passo 3
Agora, assumindo uma solução com a forma:
Com isso, podemos obter a solução da EDO.
Logo, a solução para é dada por:
Precisamos, então, encontrar as partes reais e imaginárias de .
Elevando os dois lados ao quadrado.
Juntando a parte real e a parte imaginária temos as duas equações abaixo:
Substituindo a da segunda equação na primeira.
Substituindo por .
Logo, as raízes são:
Voltando para a solução (1) e usando
Quando , o valor de precisa ser para não explodir a solução com tendendo ao infinito. Portanto, a solução é:
Passo 4
Pela resposta que encontramos na letra (b), as ondas são atenuadas com a distância penetrada no meio, e a distância de penetração é dada por:
Passo 5
As ondas incidente e refletida tem as seguintes equações:
Pela Equação 9.29, a relação entre duas amplitudes complexas é:
Portanto, a magnitude do coeficiente de reflexão é:
E a mudança de fase é:
Acabamos a questão, um pouco trabalhosa né?? Mas conseguimos!!!