Suponha que A e i a x + B i b x = C e i c x , para algumas constantes não nulas A , B , C , a , b , c , e para todo x . Prove que a = b = c e A + B = C .

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida!! Para resolvermos está questão vamos usar o fato de a identidade ser válida para todo valor de x .

Sendo assim, a identidade é válida para x = 0 . O enunciado nos diz também que:

A + B = C

Logo:

A e i a x + B e i b x = C e i c x

A e i a x + B e i b x = ( A + B ) e i c x

A e i x ( a - c ) + B e i x ( b - c ) = A + B

A parte direita da equação é real, então devemos simplificar a parte imaginária do lado esquerdo.

A e i x ( a - c ) + B e i x ( b - c )

A cos ⁡ x a - c + i   s e n   x a - c + B cos ⁡ x a - c + i   s e n   x a - c

A   s e n x a - c + B   s e n x b - c = 0  

A   s e n x a - c = - B   s e n x b - c

Portanto, a única maneira de simplificarmos a parte imaginária para todo x é a = c e b = c , e por fim, a = b = c .

Resposta

Resolução no passo anterior.