Suponha que o campo elétrico em uma determinada região é dado por E = k r 3 r ^ , em coordenadas esféricas ( k é uma constante).

(a) Encontre a densidade de carga ρ .

(b) Encontre a carga total contida esfera de raio R , centrada na origem. (Faça de duas formas diferentes.)

Passo 1

Falaaa, tudo belezaa?? Para resolvermos a primeira parte da questão usaremos a fórmula abaixo:

ρ = ϵ 0 ∇ . E

E para calcularmos a carga total na esfera, vamos usar a lei de Gauss:

∮ E . d a = 1 ϵ 0 Q E n

E como o enunciado nos pede outro método, usaremos também integral direta. Bora lá!!!

Passo 2

Calculando a densidade pela fórmula do passo 1.

ρ = ϵ 0 ∇ . E

ρ = ϵ 0 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 . k r 3 )

ρ = 5 ϵ 0 k r 2

Passo 3

Calculando a carga envolvida pela lei de Gauss:

Q E n = ϵ 0 ∮ E . d a

Q E n = ϵ 0 ( k R 3 ) ( 4 π R 2 )

Q E n = 4 π ϵ 0 k R 5

Calculando por integral direta:

Q E n = ∫ ρ d r

Q E n = ∫ 0 R ( 5 ϵ 0 k r 2 ) ( 4 π r 2 d r )

Q E n = 20 π ϵ 0 k ∫ 0 R r 4 d r

Q E n = 4 π ϵ 0 k R 5

Resposta

  1. ρ = 5 ϵ 0 k r 2
  2. Q E n = 4 π ϵ 0 k R 5