Suponha que o circuito na Figura 7.40 ficou conectado por um longo tempo quando, de repente, no tempo t=0, a chave S é acionada, isolando da bateria.

  1. Qual é a corrente em qualquer tempo subsequente ?
  2. Qual é a energia total fornecida ao resistor?
  3. Mostre que ela é igual à energia originalmente armazenada no indutor.

Passo 1

Olá pessoal! Bora para mais uma!?

Inicialmente, temos que a corrente inicial é:

I 0 = ε 0 R

Com isso, temos:

- L d I d t = I R

d I d t = - R L I

d I I = - R L d t

Resolvendo, temos que:

I = I 0 e - R t L

Ou melhor, como temos I 0 = ε 0 R , assim:

I ( t ) = ε 0 R e - R t L

Passo 2

Agora para vamos partir de:

P = I 2 R

Substituindo I ( t ) = ε 0 R e - R t L , temos que:

P = ε 0 R e - R t L 2 R

P = ε 0 2 R e - 2 R t L

Podemos associar agora a expressão acima com dw/dt, ou seja:

ε 0 2 R e - 2 R t L = d W d t

Assim isolando o d w , temos que:

W = ε 0 2 R ∫ 0 ∞ e - 2 R t L d t = ε 0 2 R - L 2 R e - 2 R t L | 0 ∞ = ε 0 2 R L 2 R = 1 2 L ε 0 R 2

Passo 3

Sabemos que para calcular a energia armazenada no indutor, temos que:

W 0 = 1 2 L I 0 2

Substituindo I 0 obtido no passo 1, temos que:

W 0 = 1 2 L ε 0 R 2

Assim percebemos que é a mesma expressão obtida no passo 2.

Assim finalizamos mais uma! Até a próxima.

Resposta

  1. I ( t ) = ε 0 R e - R t L
  2. W = 1 2 L ε 0 R 2
  3. Dedução no passo 3.