Enunciado

Suponha que a condutividade do material que separa os cilindros no Exemplo 7.2 não é uniforme; especificamente, σ ( s ) = k / s , para alguma constante 𝑘 . Encontre a resistência entre os cilindros. [Dica: como σ é uma função da posição, a Equação 7.5 não vale, a densidade de carga não é zero no meio resistivo e E não vai como 1 / s . Mas sabemos que para correntes estacionárias 𝐼 é a mesma através de cada superfície cilíndrica. Agora é com você. ]

Passo 1

Olá pessoal, bora para mais uma!?

Como σ ( s ) = k / s e que estamos considerando o cilindro do Exemplo 7.2, podemos escrever:

I = ∫ J ∙ d a = J s 2 π s L

J s = I 2 π s L

Agora que temos a expressão para J em função de s, podemos escrever a expressão para o campo elétrico associado, sendo:

E = J σ = I 2 π σ s L

Mas como temos que σ ( s ) = k / s , podemos reescrever a expressão acima, como:

E = I 2 π k L

Passo 2

Agora que encontramos o campo elétrico conseguimos encontrar V, assim:

V = - ∫ a b E ∙ d l = - ∫ a b I 2 π k L d l

V = - I 2 π k L a - b

E por fim conseguimos encontrar a relação para a resistência entre os cilindros, sendo:

R = V I = - I 2 π k L a - b I = b - a 2 π k L

Sendo assim, finalizamos mais uma questão, até a próxima!!

Resposta

R = b - a 2 π k L