Suponha que f é uma função de apenas duas variáveis ( y e z ) . Mostre que o gradiente ∇ f = ( ∂ f / ∂ y ) y ̂ + ( ∂ f / ∂ z ) z ̂ transforma-se como um vetor sob rotações, Equação 1.29. [Dica: ( ∂ f / ∂ y - ) = ( ∂ f / ∂ y ) ( ∂ y / ∂ y - ) + ( ∂ f / ∂ z ) ( ∂ z / ∂ y - ) e a forma análoga para ∂ f / ∂ z - . Sabemos que y - = y cos ⁡ ϕ + z sen ⁡ ϕ e z - = - y sen ⁡ ϕ + z cos ⁡ ϕ ; ‘resolva’ estas equações para y e z (as funções de y - e z - ) e calcule as derivadas necessárias ∂ y / ∂ y - , ∂ z / ∂ y - etc.]

Passo 1

Fala galera! Vamos lá.

∇ ∙ f x ,   y ,   z = x ^ ∂ ∂ x + y ^ ∂ ∂ y + z ^ ∂ ∂ z ∙ f x x ^ + f y y ^ + f z z ^ = ∂ f x ∂ x + ∂ f y ∂ y + ∂ f z ∂ z

Sabemos que:

y - = y cos ⁡ ϕ + z sen ⁡ ϕ

z - = - y sen ⁡ ϕ + z cos ⁡ ϕ

Vamos começar achando a função de z . Multiplicando sen ⁡ ϕ na linha de cima e cos ⁡ ϕ na linha de baixo, teremos:

y - sen ⁡ ϕ = y sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ + z sen 2 ⁡ ϕ

z - cos ⁡ ϕ = - y sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ + z cos 2 ⁡ ϕ

Se somarmos as duas igualdades, teremos:

y - sen ⁡ ϕ + z - cos ⁡ ϕ = y sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ - y sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ + z sen 2 ⁡ ϕ + z cos 2 ⁡ ϕ

y - sen ⁡ ϕ + z - cos ⁡ ϕ = z sen 2 ⁡ ϕ + z cos 2 ⁡ ϕ

y - sen ⁡ ϕ + z - cos ⁡ ϕ = z ( sen 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ )

y - sen ⁡ ϕ + z - cos ⁡ ϕ = z

Da mesma maneira, para acharmos a função de z , podemos multiplicar cos ⁡ ϕ na linha de cima e sen ⁡ ϕ na linha de baixo, teremos:

y - cos ⁡ ϕ = y cos 2 ⁡ ϕ + z cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ

z - sen ⁡ ϕ = - y sen 2 ⁡ ϕ + z cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ

Assim, subtraindo:

y - cos ⁡ ϕ - z - sen ⁡ ϕ = y cos 2 ⁡ ϕ + y sen 2 ⁡ ϕ + z cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ - z cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ

y - cos ⁡ ϕ - z - sen ⁡ ϕ = y cos 2 ⁡ ϕ + y sen 2 ⁡ ϕ

y - cos ⁡ ϕ - z - sen ⁡ ϕ = y cos 2 ⁡ ϕ + sen 2 ⁡ ϕ

y - cos ⁡ ϕ - z - sen ⁡ ϕ = y

Agora, sabemos que, para calcular o gradiente:

∇ f = ∂ f ∂ y y ^ + ∂ f ∂ z z ^

Então:

∂ y ∂ y ^ = ∂ ∂ y ^ y - cos ⁡ ϕ - z - sen ⁡ ϕ = cos ⁡ ϕ

∂ y ∂ z ^ = ∂ ∂ z ^ y - cos ⁡ ϕ - z - sen ⁡ ϕ = - sen ⁡ ϕ

∂ z ∂ y ^ = ∂ ∂ y ^ y - sen ⁡ ϕ + z - cos ⁡ ϕ = sen ⁡ ϕ

∂ z ∂ z ^ = ∂ ∂ z ^ y - sen ⁡ ϕ + z - cos ⁡ ϕ = cos ⁡ ϕ

Assim, como dado, teremos:

∇ f - y = ∂ f ∂ y -

∇ f - y = ∂ f ∂ y ∂ y ∂ y - + ∂ f ∂ z ∂ z ∂ y -

Da mesma forma para z :

∇ f - z = ∂ f ∂ z -

∇ f - z = ∂ f ∂ y ∂ y ∂ z - + ∂ f ∂ z ∂ z ∂ z -

Vale lembrar que:

∇ f y = ∂ f ∂ y   ,     ∇ f z = ∂ f ∂ z

Logo, podemos substituir os termos equivalentes:

∇ f - y = cos ⁡ ϕ ∇ f y + sen ⁡ ϕ ∇ f z

∇ f - z = - sen ⁡ ϕ ∇ f y + cos ⁡ ϕ ∇ f z

Assim, o gradiente se transforma como um vetor sob rotações.

Resposta

Com um pouquinho de manipulação chegamos na nossa prova, né?

Ficou claro o raciocínio? Qualquer dúvida manda pra gente!