Suponha que é uma função de apenas duas variáveis e . Mostre que o gradiente transforma-se como um vetor sob rotações, Equação 1.29. [Dica: e a forma análoga para . Sabemos que e ; ‘resolva’ estas equações para e (as funções de e ) e calcule as derivadas necessárias , etc.]
Passo 1
Fala galera! Vamos lá.
Sabemos que:
Vamos começar achando a função de . Multiplicando na linha de cima e na linha de baixo, teremos:
Se somarmos as duas igualdades, teremos:
Da mesma maneira, para acharmos a função de , podemos multiplicar na linha de cima e na linha de baixo, teremos:
Assim, subtraindo:
Agora, sabemos que, para calcular o gradiente:
Então:
Assim, como dado, teremos:
Da mesma forma para :
Vale lembrar que:
Logo, podemos substituir os termos equivalentes:
Assim, o gradiente se transforma como um vetor sob rotações.
Resposta
Com um pouquinho de manipulação chegamos na nossa prova, né?
Ficou claro o raciocínio? Qualquer dúvida manda pra gente!