Suponha que

E r , t = - 1 4 π ϵ 0 q r 2   θ v t - r r ^ ; B r , t = 0

(A função teta é definida no Problema 1.45b). Mostre que esses campos satisfazem todas as equações de Maxwell e determine ρ   e   J . Descreva a situação física que dá surgimento a esses campos.

Passo 1

Olá pessoal, bora para mais uma!?

Vamos supor que E r , t = - 1 4 π ϵ 0 q r 2   θ v t - r r ^ ; B r , t = 0

E pelo problema 1.45b, temos a definição de θ ( x ) que é uma função degrau.

O campo dado acima é o campo de uma carga pontual (-q) na origem para uma casca esférica em expansão de raio v t e temos que na parte de fora da casca o campo é nulo. Evidentemente a casca carrega a carga oposta, ou seja, +q.

Agora vamos partir de ∇ ∙ E , assim temos:

∇ ∙ E = θ v t - r ∇ ∙ - 1 4 π ϵ 0 q r 2 r ^ - 1 4 π ϵ 0 q r 2 r ^ ∙ ∇ θ v t - r =

= - q ϵ 0 δ 3 ( r )   θ v t - r - 1 4 π ϵ 0 q r 2 r ^ ∙ r ^ ∂ ∂ r θ v t - r  

Agora pela solução do problema 1.45b, temos que:

δ 3 r θ v t - t = δ 3 ( r ) θ t

E que:

∂ ∂ r θ v t - r = - δ v t - r

Passo 2

Assim voltando em ∇ ∙ E = ρ / ϵ 0 , temos:

∇ ∙ E = - q ϵ 0 δ 3 r θ t + 1 4 π ϵ 0 q r 2 r ^ ∙ r ^ δ v t - r = ρ ϵ 0

Isolando ρ , temos:

ρ = ϵ 0 - q ϵ 0 δ 3 r θ t + 1 4 π ϵ 0 q r 2 r ^ ∙ r ^ δ v t - r

ρ = - q δ 3 r θ t + 1 4 π q r 2 δ v t - r

Passo 3

Quando olhamos para ∇ ∙ B = 0 e ∇ × E = 0 , certamente satisfaz, agora vamos olhar para lei de Amepere/Maxwell,

∇ × B = 0 = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t

Ou seja:

J = - ϵ 0 ∂ E ∂ t

Substituindo E na expressão temos que:

J = ϵ 0 ∂ ∂ t 1 4 π ϵ 0 q r 2   θ v t - r r ^

Temos também que:

∂ ∂ r θ v t - r = - δ v t - r

Ou seja:

J = - ϵ 0 1 4 π ϵ 0 q r 2 δ v t - r r ^

Por fim, temos que:

J = - q 4 π r 2 v δ v t - r r ^

E assim finalizamos mais uma questão, até a próxima!!

Resposta

Dedução nos passos anteriores.