Suponha que o plano y   z (eletricamente neutro) carrega uma corrente superficial dependente do tempo, porém com densidade uniforme K t z ^ .

(a) Encontre os campos elétricos e magnético a uma altura x acima do plano se

(i) uma corrente constante for ligada em t = 0 :

K t = 0 ,               t ≤ 0 , K 0 ,               t > 0 .

(ii) uma corrente que aumenta linearmente é ligada em t = 0 :

K t = 0 ,               t ≤ 0 ,   α t ,               t > 0 .

(b) Mostre que o potencial vetorial retardado pode ser escrito da seguinte forma

A x ,   t = μ 0 c 2 z ^ ∫ 0 ∞ K t - x c - u d u

e a partir dele, determine E e B .

(c) Mostre que a potência total radiada por unidade de área da superfície é

μ 0 c 2 K t 2

Explique o que você quer dizer com ‘radiação’ neste caso, dado que a fonte não é localizada. [Para discussão e problemas correlatos veja B. R. Holstein, Am. J. Phys. 63, 217 (1995), T. A. Abbot e D. J. Griffiths, Am. J. Phys. 53, 1203 (1985).]

Passo 1

Olá meu caro!

Bom, primeiramente vamos fazer uma representação do nosso sistema. Veja a figura abaixo:

(a)

A x ,   t = μ 0 4 π ∫ K t r r d a

= μ 0 z ^ 4 π ∫ K t r r 2 + x 2 2 π r   d r

= μ 0 z ^ 2 ∫ K t - r 2 + x 2 / c r 2 + x 2 r   d r

O r máximo é dado por t - r 2 + x 2 / c = 0 ;

r m a x = c 2 t 2 - x 2 , (desde K t = 0 para t < 0 ).

(i)

A x ,   t = μ 0 K 0 z ^ 2 ∫ 0 r m r r 2 + x 2 d r = μ 0 K 0 z ^ 2 r 2 + x 2 ​ 0 r m

= μ 0 K 0 z ^ 2 r m 2 - x 2 - x = μ 0 K 0 c t - x 2 z ^

E x ,   t = - ∂ A ∂ t = - μ 0 K 0 c 2 z ^

Para c t > x , e 0 , para c t < x .

B x ,   t = ∇ × A = - ∂ A z ∂ x y ^ = μ 0 K 0 2 y ^

Para c t > x , e 0 , para c t < x .

(ii)

A x ,   t = μ 0 α z ^ 2 ∫ 0 r m t - r 2 + x 2 / c r 2 + x 2 r d r

= μ 0 α z ^ 2 t ∫ 0 r m r r 2 + x 2 d r - 1 c ∫ 0 r m r d r

= μ 0 α z ^ 2 t c t - x - 1 2 c c 2 t 2 - x 2

= μ 0 α z ^ 4 c x 2 - 2 c t x + c 2 t 2 = μ 0 α x - c t 2 4 c z ^

E x ,   t = - ∂ A ∂ t = μ 0 α x - c t 2 z ^

Para c t > x , e 0, para c t < x .

B x ,   t = ∇ × A = - ∂ A z ∂ x y ^ = - μ 0 α 2 c x - c t y ^

Para c t > x , e 0 , para c t < x .

Passo 2

(b) Fazendo u ≡ 1 c r 2 + x 2 - x , então, d u = 1 c 1 2 1 r 2 + x 2 2 r   d r = 1 c r r 2 + x 2   d r , e

t - r 2 + x 2 c = t - x c - u , e como r : 0 → ∞ , u : 0 → ∞ . Então,

A x ,   t = μ 0 c z ^ 2 ∫ 0 ∞ K t - x c - u d u

E x ,   t = - ∂ A ∂ t = - μ 0 c z ^ 2 ∫ 0 ∞ ∂ ∂ t K t - x c - u d u

Mas ∂ ∂ t K t - x c - u = - ∂ ∂ u K t - x c - u

= μ 0 c 2 z ^ ∫ 0 ∞ ∂ ∂ u K t - x c - u d u

= μ 0 c 2 z ^ K t - x c - u ​ 0 ∞ = - μ 0 c 2 K t - x c - K - ∞ z ^

= - μ 0 c 2 K t - x c z ^

[Se K - ∞ = 0 ].

Note que (i) e (ii) são consistentes com o resultado. Enquanto

B x ,   t = - ∂ A z ∂ x y ^ = - μ 0 c c y ^ ∫ 0 ∞ ∂ ∂ x K t - x c - u d u

Mas ∂ ∂ x K t - x c - u = 1 c ∂ ∂ u K t - x c - u .

= - μ 0 2 y ^ ∫ 0 ∞ ∂ ∂ u K t - x c - u d u = - μ 0 2 y ^ K t - x c - u ​ 0 ∞

= μ 0 2 K t - x / c - K - ∞ y ^

= μ 0 2 K t - x / c y ^

[Se K - ∞ = 0 ]

S = 1 μ 0 E × B = 1 μ 0 μ 0 c 2 μ 0 2 K t - x / c - z ^ × y ^ = μ 0 c 4 K t - x / c 2 x ^  

Esta é a potência por unidade que atinge x no momento t ; deixou a superfície na hora ( t - x / c ) . Além disso, uma quantidade igual de energia é irradiada para baixo, de modo que a potência total deixando a superfície no momento em que t é μ 0 c 2 K t 2 .

Resposta

Ver Passo 1 e 2.