a) Suponha que o potencial é uma constante V 0 sobre a superfície da esfera. Use os resultados do Exemplo 3.6 e do Exemplo 3.7 para encontrar o potencial dentro e fora da esfera. (Você, é claro, já conhece as respostas antecipadamente – esta é apenas uma verificação de coerência do método.)

b) Encontre o potencial dentro e fora da casca esférica com uma carga uniforme σ 0 , usando os resultados do Exemplo 3.9.

Passo 1

Faaala, pessoal! Bora pra mais uma questãozinha. A expressão para o potencial na superfície de uma esfera é a seguinte:

V r ,   θ =   ∑ l = 0 ∞ A l r l P l ( c o s θ )

Onde os coeficientes A l são dados pela seguinte expressão:

A l = ( 2 l + 1 ) 2 R l   ∫ 0 π V 0 θ P l c o s θ s e n θ d θ

Para o nosso caso, teremos que:

V 0 θ = V 0

Portanto, como o termo é uma constante, podemos coloca-lo para fora da integral, ficando com:

A l = 2 l + 1 V 0 2 R l   ∫ 0 π P l c o s θ s e n θ d θ

Para l = 0 →   P 0 ( cos ⁡ 0 = 1 , com isso, podemos reescrever a integral da seguinte forma:

∫ 0 π P 0 c o s θ P l c o s θ s e n θ d θ =   0 ,           s e   l ≠ 0 2 ,           s e   l = 0

Com isso:

A l =   0 ,           s e   l ≠ 0 V 0 ,           s e   l = 0

Portanto, colocando isso na fórmula do potencial inicial, para l = 0 :

V r , θ = A 0 r 0 P 0 c o s θ = V 0

Com isso, chegamos a conclusão que o potencial é constante em toda a esfera.

Para a parte de fora da esfera, o potencial será dado pela seguinte expressão:

V r , θ = ∑ l = 0 ∞ B l r l + 1   P l ( c o s θ )  

Em que os coeficientes B l serão dados pela seguinte expressão:

B l = ( 2 l + 1 ) 2 R l + 1 ∫ 0 π V 0 θ P l c o s θ s e n θ d θ

Como vimos anteriormente V 0 θ = V 0 , logo:

= ( 2 l + 1 ) 2 R l + 1 V 0 ∫ 0 π P l c o s θ s e n θ d θ = 0 ,           s e   l ≠ 0 R V 0 ,           s e   l = 0  

Portanto o potencial na parte de fora da esfera, será:

V r , θ = V 0 R r

O que mostra que quando r = R o potencial V r , θ = V 0 depois disso ele decai de acordo com o termo 1 r .

Passo 2

b) Galera, agora o enunciado nos pede para calcular o potencial dentro e fora da casca esférica com uma carga uniforme σ 0 , usando os resultados do exemplo 3.9. As equações para o potencial dentro e fora da casca esférica são aseguintes:

Dentro da casca esférica:

V r , θ =   ∑ l = 0 ∞ A l r l P l ( c o s θ )           p a r a   r ≤ R

Em que:

A l = 1 2 ϵ 0 R l - 1   ∫ 0 π σ 0 ( θ ) P l c o s θ s e n θ d θ

= 1 2 ϵ 0 R l - 1   σ 0 ∫ o π P l c o s θ s e n θ d θ =   0 ,           s e   l ≠ 0 R σ 0 ϵ 0 ,           s e   l = 0

Fora da casca esférica:

V r , θ =   ∑ l = 0 ∞ B l r l + 1   P l ( c o s θ )           p a r a   r ≥ R

Em que:

B l = R 2 l + 1 A l

Portanto, para l = 0 vamos ter:

A 0 = R σ 0 ϵ 0  

B 0 = R 2 σ 0 ϵ 0 1 r

Portanto, as expressões para o potencial dentro e fora da esfera, serão:

Dentro ( r ≤ R ) :

V r , θ = R σ 0 ϵ 0    

Fora ( r ≥ R ) :

V r , θ = R 2 σ 0 ϵ 0 1 r  

Ou em termos da carga total Q = 4 π R 2 σ 0

V r , θ = 1 4 π ϵ 0 Q R                       p a r a   r ≤ R

V r , θ = 1 4 π ϵ 0 Q r               p a r a   r ≥ R

E aqui finalizamos a questão, galera! Até a próxima 😊

Resposta

a)

V r , θ = V 0 ,               p a r a   r ≤ R

V r , θ = V 0 R r   ,               p a r a   r ≥ R

b)

V r , θ = 1 4 π ϵ 0 Q R                       p a r a   r ≤ R

V r , θ = 1 4 π ϵ 0 Q r               p a r a   r ≥ R