Suponha que J ( r ) seja constante no tempo, então ( Prob.7.55 )  ρ (   r   ,   t ) = ρ (   r   ,   0 ) +   ρ ˙ (   r   ,   0 )   t . Mostre que

Ou seja, a lei de Coulomb se aplica com a densidade de carga avaliada no tempo não retardado

Passo 1

E ai meus queridos, tudo dentro dos eixos?

Haha

Bora resolver essa comigo?

Encostaaa

Aqui e dado que

  ρ   r   ,   t = ρ   r   ,   0 +   ρ ˙   r   ,   0 t

J r é constante no tempo então J ˙ r ,   t = 0

Nos sabemos que

E r , t = 1 4 π ϵ 0 ρ ( r ´ , t r ) r 2 r ^ + ρ ˙ ( r ´ , t r ) c r - J ˙ ( r ´ , t r ) c 2 r d τ ´

= 1 4 π ϵ 0 ρ r ´ , 0 + ρ ˙ r ´ , 0 r 2 r ^ + ρ ˙ ( r ´ , t r ) c r d τ ´

Passo 2

Aqui t r = t - r c

E r , t = 1 4 π ϵ 0 ∫ ρ r ´ , 0 + ρ ˙ r ´ , 0 t - r c r 2 r ^ + ρ ˙ ( r ´ , t r ) c r d τ ´

= 1 4 π ϵ 0 ∫ ρ r ´ , 0 + ρ ˙ r ´ , 0 r 2 r ^ d τ ´

E r ,   t = 1 4 π ϵ 0 ∫ ρ ( r ´ , t ) r 2 r ^ d τ

Resposta

E r ,   t = 1 4 π ϵ 0 ∫ ρ ( r ´ , t ) r 2 r ^ d τ