Suponha que a região acima do plano x y no Exemplo 4.8 é também preenchida com um dielétrico linear, mas de uma suscetibilidade diferente χ e ' . Encontre o potencial em toda a parte.

Passo 1

E aí, galera! Tudo tranquilo? Que ótimo, então vamos partir para mais uma resolução.

No exemplo 4.8, a gente tinha toda a região abaixo de z = 0 , ou seja, a parte “embaixo” do plano x y preenchida com um dielétrico de suscetibilidade χ e . Então, vamos recapitular o que a gente viu nesse exemplo. Nesse caso, a gente tem uma carga q que gera uma carga de polarização - q no plano x y e temos a seguinte carga de superfície

σ p = ϵ 0 χ e - 1 4 π ϵ 0 q d ( r 2 + d 2 ) 3 / 2 - σ p 2 ϵ 0

Passo 2

Nessa questão, temos dielétrico também na parte de “cima” do plano x y , então vamos ter a carga q , a carga de polarização gerada por q , uma carga de superfície σ p na superfície do dielétrico que está abaixo do plano x y e uma carga de superfície σ ' p na superfície do dielétrico acima do plano x y .

Usando a expressão 4.39 do livro, vemos que a carga de polarização é proporcional a carga livre

q p = - χ e 1 + χ e q

Assim, a carga total no ponto ( 0,0 , d ) é a soma da carga q mais a carga de polarização:

q + q p = q - χ e 1 + χ e q = 1 + χ e - χ e 1 + χ e q = 1 1 + χ e q = q ϵ ' r

onde usamos ϵ ' r = 1 + χ e . Vamos usar essa carga no lugar de q na fórmula do Passo 1.

Além disso, quando a gente for usar a expressão do Passo 1, além da contribuição - σ p 2 ϵ 0 também precisamos lembrar de adicionar - σ ' p 2 ϵ 0 porque ambos contribuem para a componente z do campo da carga de polarização. Então, ficamos com o seguinte:

( 1 )     σ p = ϵ 0 χ e - 1 4 π ϵ 0 q d / ϵ ' r ( r 2 + d 2 ) 3 / 2 - σ p 2 ϵ 0 - σ ' p 2 ϵ 0

( 2 )     σ ' p = ϵ 0 χ ' e - 1 4 π ϵ 0 q d / ϵ ' r ( r 2 + d 2 ) 3 / 2 - σ p 2 ϵ 0 - σ ' p 2 ϵ 0

pois σ p = P → ⋅ n ^ = ϵ 0 χ e E z e σ p = - P → ⋅ n ^ = - ϵ 0 χ ' e E z .

Passo 3

Agora, a gente precisa resolver para σ p e σ ' p . Para isso, vamos dividir a equação ( 1 ) por χ e e a expressão ( 2 ) por χ ' e . Depois, subtraímos a primeira da segunda:

σ ' p χ ' e - σ p χ e = 2 ϵ 0 4 π ϵ 0 q d / ϵ ' r ( r 2 + d 2 ) 3 / 2 = 1 2 π q d / ϵ ' r ( r 2 + d 2 ) 3 / 2

⇒ σ ' p χ ' e = 1 2 π q d / ϵ ' r ( r 2 + d 2 ) 3 / 2 + σ p χ e

⇒ σ ' p = χ ' e 1 2 π q d / ϵ ' r ( r 2 + d 2 ) 3 / 2 + σ p χ e

Agora, usamos esse resultado em ( 1 ) e resolvemos para σ p . Acompanha aí o raciocínio:

  σ p = ϵ 0 χ e - 1 4 π ϵ 0 q d / ϵ ' r ( r 2 + d 2 ) 3 / 2 - σ p 2 ϵ 0 - σ ' p 2 ϵ 0 = ϵ 0 χ e - 1 4 π ϵ 0 q d / ϵ ' r ( r 2 + d 2 ) 3 / 2 - σ p 2 ϵ 0 - χ ' e 2 ϵ 0 1 2 π q d / ϵ ' r ( r 2 + d 2 ) 3 / 2 + σ p χ e

  ⇒ σ p = - σ p χ e 2 + ϵ 0 χ e - 1 4 π ϵ 0 q d / ϵ ' r ( r 2 + d 2 ) 3 / 2 - χ ' e 2 ϵ 0 1 2 π q d / ϵ ' r ( r 2 + d 2 ) 3 / 2 + σ p χ e

  ⇒ σ p + σ p χ e 2 = ϵ 0 χ e - 1 4 π ϵ 0 q d / ϵ ' r ( r 2 + d 2 ) 3 / 2 - χ ' e 4 π ϵ 0 q d / ϵ ' r ( r 2 + d 2 ) 3 / 2 - χ ' e σ p 2 ϵ 0 χ e

  ⇒ σ p + σ p χ e 2 + χ ' e σ p 2 = ϵ 0 χ e - 1 4 π ϵ 0 q d / ϵ ' r ( r 2 + d 2 ) 3 / 2 - χ ' e 4 π ϵ 0 q d / ϵ ' r ( r 2 + d 2 ) 3 / 2

  ⇒ σ p 1 + χ e 2 + χ ' e 2 = - 1 4 π q d / ϵ ' r ( r 2 + d 2 ) 3 / 2 χ e 1 + χ ' e = - 1 4 π q d ( r 2 + d 2 ) 3 / 2 χ e

  ⇒ σ p = - 1 4 π q d ( r 2 + d 2 ) 3 / 2 χ e 1 + χ e 2 + χ ' e 2

onde usamos ϵ ' r = 1 + χ ' e . A gente pode usar esse resultado para obter   σ ' p :

σ ' p = χ ' e 1 2 π q d / ϵ ' r ( r 2 + d 2 ) 3 / 2 + σ p χ e = χ ' e 1 2 π q d / ϵ ' r ( r 2 + d 2 ) 3 / 2 - 1 4 π q d ( r 2 + d 2 ) 3 / 2 1 1 + χ e 2 + χ ' e 2

σ ' p = 1 4 π q d χ ' e ( r 2 + d 2 ) 3 / 2 2 ϵ ' r - 1 1 + χ e 2 + χ ' e 2 = 1 4 π q d χ ' e ( r 2 + d 2 ) 3 / 2 2 + χ e + χ ' e - ϵ ' r ϵ ' r 1 + χ e 2 + χ ' e 2

Como 2 + χ e + χ ' e - ϵ ' r = 2 + ϵ r - 1 + ϵ ' r - 1 - ϵ ' r = ϵ r . Então, ficamos com

σ ' p = 1 4 π q d χ ' e ( r 2 + d 2 ) 3 / 2 ϵ r ϵ ' r 1 + χ e 2 + χ ' e 2 = 1 4 π q d ( r 2 + d 2 ) 3 / 2 ϵ r χ ' e ϵ ' r 1 + χ e 2 + χ ' e 2

Passo 4

Agora, podemos somar as duas cargas de superfície para obter a carga total de superfície:

σ t =   σ p + σ ' p = - 1 4 π q d ( r 2 + d 2 ) 3 / 2 χ e 1 + χ e 2 + χ ' e 2 + 1 4 π q d ( r 2 + d 2 ) 3 / 2 ϵ r χ ' e ϵ ' r 1 + χ e 2 + χ ' e 2

σ t =   σ p + σ ' p = 1 4 π q d ( r 2 + d 2 ) 3 / 2 1 ϵ ' r 1 + χ e 2 + χ ' e 2 ϵ r χ ' e - χ e ϵ ' r

Olha só, nós temos

ϵ r χ ' e - χ e ϵ ' r = ( 1 + χ e ) χ ' e - ( 1 + χ ' e ) χ e = χ ' e - χ e

Então, na verdade, temos

σ t =   σ p + σ ' p = 1 4 π q d ( r 2 + d 2 ) 3 / 2 χ ' e - χ e ϵ ' r 1 + χ e 2 + χ ' e 2

Ou seja, quando χ ' e = χ e , a carga total de superfície é nula. Esse resultado é esperado porque, nesse caso, teríamos cargas de mesma magnitude e sinais contrários “embaixo” e “em cima” do plano x y , que se anulam.

Passo 5

Bom, se a gente reescrever a última equação na forma:

σ t =   σ p + σ ' p = 1 2 π d ( r 2 + d 2 ) 3 / 2 q ( χ ' e - χ e ) 2 ϵ ' r 1 + χ e 2 + χ ' e 2 = 1 4 π q p d ( r 2 + d 2 ) 3 / 2

dá pra gente identificar o termo

q p = q ( χ ' e - χ e ) 2 ϵ ' r 1 + χ e 2 + χ ' e 2 = q ( ϵ ' r - 1 - ϵ r + 1 ) 2 ϵ ' r 1 + ϵ r - 1 2 + ϵ ' r - 1 2 = q ( ϵ ' r - ϵ r ) ϵ ' r ϵ ' r + ϵ r

como a carga de polarização total. Para z > 0 , a gente vai substituir o dielétrico pela carga de polarização q p na posição de imagem, ou seja, ( 0,0 , - d ) . Além disso, lá no Passo 2 a gente viu que a carga total em ( 0,0 , d ) é q ϵ ' r . Assim, o potencial elétrico fica:

V ( r ) = 1 4 π ϵ 0 q / ϵ ' r x 2 + y 2 + ( z - d ) 2 + q t x 2 + y 2 + ( z + d ) 2 ,     z > 0

Para z < 0 , é como se a gente tivesse a carga total q / ϵ ' r + q t em ( 0,0 , d ) e aí temos o potencial dado por

V ( r ) = 1 4 π ϵ 0 q / ϵ ' r + q t x 2 + y 2 + ( z - d ) 2 ,     z < 0

Como

q ϵ ' r + q t = q ϵ ' r + q ( ϵ ' r - ϵ r ) ϵ ' r ϵ ' r + ϵ r = q ( ϵ ' r + ϵ r ) + q ( ϵ ' r - ϵ r ) ϵ ' r ϵ ' r + ϵ r = 2 q ϵ ' r ϵ ' r ϵ ' r + ϵ r = 2 q ϵ ' r + ϵ r ,

então,

V ( r ) = 1 4 π ϵ 0 2 q / ( ϵ ' r + ϵ r ) x 2 + y 2 + ( z - d ) 2 ,     z < 0 .

Ufa! Essa foi longa, hein? Nos vemos no próximo desafio!

Resposta

V ( r ) = 1 4 π ϵ 0 q / ϵ ' r x 2 + y 2 + ( z - d ) 2 + q t x 2 + y 2 + ( z + d ) 2 ,     z > 0

V ( r ) = 1 4 π ϵ 0 2 q / ( ϵ ' r + ϵ r ) x 2 + y 2 + ( z - d ) 2 ,     z < 0