Suponha que a região acima do plano no Exemplo 4.8 é também preenchida com um dielétrico linear, mas de uma suscetibilidade diferente . Encontre o potencial em toda a parte.
Passo 1
E aí, galera! Tudo tranquilo? Que ótimo, então vamos partir para mais uma resolução.
No exemplo 4.8, a gente tinha toda a região abaixo de , ou seja, a parte “embaixo” do plano preenchida com um dielétrico de suscetibilidade . Então, vamos recapitular o que a gente viu nesse exemplo. Nesse caso, a gente tem uma carga que gera uma carga de polarização no plano e temos a seguinte carga de superfície
Passo 2
Nessa questão, temos dielétrico também na parte de “cima” do plano , então vamos ter a carga , a carga de polarização gerada por , uma carga de superfície na superfície do dielétrico que está abaixo do plano e uma carga de superfície na superfície do dielétrico acima do plano .
Usando a expressão 4.39 do livro, vemos que a carga de polarização é proporcional a carga livre
Assim, a carga total no ponto é a soma da carga mais a carga de polarização:
onde usamos . Vamos usar essa carga no lugar de na fórmula do Passo 1.
Além disso, quando a gente for usar a expressão do Passo 1, além da contribuição também precisamos lembrar de adicionar porque ambos contribuem para a componente do campo da carga de polarização. Então, ficamos com o seguinte:
pois e .
Passo 3
Agora, a gente precisa resolver para e . Para isso, vamos dividir a equação por e a expressão por . Depois, subtraímos a primeira da segunda:
Agora, usamos esse resultado em e resolvemos para . Acompanha aí o raciocínio:
onde usamos . A gente pode usar esse resultado para obter :
Como . Então, ficamos com
Passo 4
Agora, podemos somar as duas cargas de superfície para obter a carga total de superfície:
Olha só, nós temos
Então, na verdade, temos
Ou seja, quando , a carga total de superfície é nula. Esse resultado é esperado porque, nesse caso, teríamos cargas de mesma magnitude e sinais contrários “embaixo” e “em cima” do plano , que se anulam.
Passo 5
Bom, se a gente reescrever a última equação na forma:
dá pra gente identificar o termo
como a carga de polarização total. Para , a gente vai substituir o dielétrico pela carga de polarização na posição de imagem, ou seja, . Além disso, lá no Passo 2 a gente viu que a carga total em é . Assim, o potencial elétrico fica:
Para , é como se a gente tivesse a carga total em e aí temos o potencial dado por
Como
,
então,
.
Ufa! Essa foi longa, hein? Nos vemos no próximo desafio!