Suponha que V = 0 e A = A 0 sen ⁡ ( k x - ω t ) y ^ , onde A 0 , ω e k são constantes. Encontre E e B , e verifique se satisfazem as equações de Maxwell no vácuo. Que condição tem de ser imposta a ω e k ?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Os campos elétrico e magnético são respectivamente:

E → = - ∇ V - ∂ A → ∂ t = ω A 0 cos ⁡ k x - ω t y ^

E

B → = ∇ × A → = z ^ ∂ A z ∂ x - ∂ A x ∂ y = z ^ ∂ A y ∂ x = A 0 k cos ⁡ ( k x - ω t ) z ^

Agora, para verificar se esses campos estão de acordo com as equações de Maxwell no espaço livre:

∇ ∙ E → = ∂ E y ∂ y = 0 ;     ∇ ∙ B → = ∂ B y ∂ z = 0

Com isso, nós temos que

∇ × E → = z ^ ∂ E y ∂ x - ∂ E x ∂ y = z ^ ∂ E y ∂ x

Portanto,

∇ × E → = - ω k A 0 sen ⁡ ( k x - ω t ) z ^

E fazendo a derivada parcial de B →

∂ B → ∂ t = A 0 k ω sen ⁡ k x - ω t

Com isso, nós temos que

∇ × E → = - ∂ B → ∂ t

Passo 2

Para o caso de ∇ × B → ,

∇ × B → = - y ^ ∂ B z ∂ x - ∂ B x ∂ z = - y ^ ∂ B z ∂ x = A 0 k 2 sen ⁡ ( k x - ω t ) y ^

Substituindo o k = ω / c e ∇ × B → = 1 c 2 ∂ E → ∂ t

1 c 2 ∂ E → ∂ t = 1 c 2   ω 2 A 0 sen ⁡ ( k x - ω t ) y ^

Portanto, nós temos o seguinte resultado

∇ × B → = 1 c 2 ∂ E → ∂ t

Com a condição de ω = k c .

Resposta

E → =   ω A 0 cos ⁡ k x - ω t y ^

B → = A 0 k cos ⁡ ( k x - ω t ) z ^