Suponha que

E r , θ ,   ϕ ,   t = A sin ⁡ θ r cos ⁡ k r - w t - 1 k r sin ⁡ k r - w t ϕ ,   c o m w k = c

(A propósito, esta é a onda esférica mais simples possível. Por conveniência de notação. Considere k r - w t = u use nos seus cálculos.)

a) Mostre que E obedece às quatro equações de Maxwell no vácuo e encontre o campo magnético associado.

b) calcule o vetor de Poynting. Tome a média de S sobre um ciclo completo para obter o vetor intensidade I .

c) integre I . d a sobre uma superfície esférica para determinar a potência total irradiada.

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão do livro David J. Griffiths de Eletrodinâmica ele pede para supor que,

E r , θ ,   ϕ ,   t = A sin ⁡ θ r cos ⁡ k r - w t - 1 k r sin ⁡ k r - w t ϕ ,   c o m w k = c

(A propósito, esta é a onda esférica mais simples possível. Por conveniência de notação. Considere k r - w t = u use nos seus cálculos.)

a) Mostre que E obedece às quatro equações de Maxwell no vácuo e encontre o campo magnético associado.

b) calcule o vetor de Poynting. Tome a média de S sobre um ciclo completo para obter o vetor intensidade I .

c) integre I . d a sobre uma superfície esférica para determinar a potência total irradiada.

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Sabendo que,

E r , θ ,   ϕ ,   t = A sin ⁡ θ r cos ⁡ k r - w t - 1 k r sin ⁡ k r - w t ϕ ,   c o m w k = c

Temos que na letra (a) para mostrar que E obedece às quatro equações de Maxwell no vácuo e encontre o campo magnético associado, temos

∇ . E = 1 r sin ⁡ θ ∂ E ϕ ∂ ϕ = 0

- ∂ B ∂ t = ∇   x   E = 1 r sin ⁡ θ ∂ ∂ θ sin ⁡ θ   E ϕ r - - 1 r ∂ ∂ r r E ϕ θ -

B = 2 E 0 cos ⁡ θ W r 2 sin ⁡ μ + 1 k r cos ⁡ μ r - + E 0 sin ⁡ θ W r - k cos ⁡ μ + 1 k r 2 cos ⁡ μ + 1 r sin ⁡ μ θ -

Na letra (b) para calcular o vetor de Poynting, temos

S = 1 μ 0 E   x   B = E 0 sin ⁡ θ μ 0 r cos ⁡ μ - 1 k r sin ⁡ μ 2 E 0 cos ⁡ θ W r 2 sin ⁡ μ + 1 k r cos ⁡ μ θ

Ficando,

I = S = E 0 2 sin ⁡ θ μ 0 W r 2 k 2 sin ⁡ θ r - = E 0 2 sin 2 ⁡ θ 2 μ 0 c r 2 r -

E por fim na letra ( c ) para calcular a potência total irradiada, temos

P = ∫ I . d a = E 0 2 2 μ 0 c ∫ sin 2 ⁡ θ r 2   r 2 sin ⁡ θ d θ d ϕ = E 0 2 2 μ 0 c 2 π ∫ sin 3 ⁡ θ d θ

Logo,

4 π 3 E 0 2 μ 0 c

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) B = 2 E 0 cos ⁡ θ W r 2 sin ⁡ μ + 1 k r cos ⁡ μ r - + E 0 sin ⁡ θ W r - k cos ⁡ μ + 1 k r 2 cos ⁡ μ + 1 r sin ⁡ μ θ -

b) E 0 2 sin 2 ⁡ θ 2 μ 0 c r 2 r -

c) 4 π 3 E 0 2 μ 0 c