Suponha que você tem uma carga elétrica q e e um monopólio magnético q m . O campo da carga elétrica é

E = 1 4 π ϵ 0 q e r 2 r ^

É claro, e o campo do monoplo magnético é

B = μ 0 4 π q m r 2 r ^

Encontre o momento angular total armazenado nos campos, se as duas cargas estiverem separadas por uma distância d . [Resposta: μ 0 / 4 π q e q m . ]

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida!!! Usando o monopolo magnético em z = d e o elétrico na origem, os campos ficam:

E → = Q 4 π ϵ 0 r ^                         B → = μ 0 4 π Q m r → - d → 3 r → - d →

Agora, temos que calcular a densidade de momento angular e integrarmos para encontrar o momento angular total. Bora lá!!!

Passo 2

Calculando a densidade do momento angular.

l → = r → × g →

= r → × ϵ 0 E → × B →

= - Q Q m μ 0 16 π 2 r r 2 + d 2 - 2 r d cos ⁡ θ 3 / 2 r ^ × ( r ^ × d → )

Como já vimos em exercícios anteriores, as componentes radiais irão se cancelar na esfera, sobrando apenas a a componente z no momento angular. Sendo o produto acima:

r ^ × r ^ × d → = - d   s e n 2   θ

Agora sim, bora calcular o momento angular total das duas cargas.

L = ∫ V l d V = Q Q m μ 0 d 16 π 2 ∫ 0 ∞ ∫ 0 π ∫ 0 2 π s e n 2   θ r r 2 + d 2 - 2 r d cos ⁡ θ 3 / 2 s e n   θ d θ r 2 d r   d ϕ

L = Q Q m μ 0 d 16 π 2 ∫ 0 π s e n 3   θ ∫ 0 ∞ r d r r 2 + d 2 - 2 r d cos ⁡ θ 3 / 2 d θ

L = Q Q m μ 0 d 16 π 2 ∫ 0 π s e n 3   θ d 1 - cos ⁡ θ d θ

L → = Q Q m μ 0 4 π z ^

Resposta

L → = Q Q m μ 0 4 π z ^