Suponha que você tem material dielétrico linear de constante dielétrica ϵ r , em quantidade suficiente para preencher pela metade um capacitor de placas paralelas (Figura 4.25). Qual o coeficiente de aumento da capacitância quando você distribui o material como na Figura 4.25(a)? E como na Figura 4.25(b)? Para uma diferença de potencial V dada entre as placas, encontre E, D e P, em cada região, como também a carga livre e a carga de polarização em todas as superfícies, para ambos os casos.

Passo 1

Bom dia, boa tarde, boa noite meu povoo!! Como vocês estão? Bora lá resolver mais uma questãozinha?

Antes de tudo, assumiremos o caso de estar sem dielétrico: C 0 = A ϵ 0 d .

Agora, adotando a configuração (a) mencionada no enunciado, com + σ na chapa superior; - σ na chapa inferior; D = σ ; E = σ ϵ 0 no ar; e E = σ ϵ no dielétrico, teremos:

V = σ ϵ 0 d 2 + σ ϵ d 2 = Q d 2 ϵ 0 A   1 + ϵ 0 ϵ

Assim, sabemos que:

C a = Q V = ϵ 0 A d   2 1 + 1 ϵ 0     →     C a C 0 = 2 ϵ r 1 + ϵ r

Passo 2

Já na configuração (b), com diferença de potencial V: E = V d , temos: σ = ϵ 0 E = ϵ 0 V d no ar.

Já como P = ϵ 0 x e E = ϵ 0 x e V d no dielétrico, teremos σ b = - ϵ 0 x e V d na superfície do topo do dielétrico.

Assim, temos ainda que:

σ t o t = ϵ 0 V d = σ f + σ b = σ f - ϵ 0 x e V d

Portanto, no topo da placa acima do dielétrico, teremos:

σ f = ϵ 0 V ( 1 + x e ) d = ϵ 0 ϵ r V d

Desse modo, com os valores acima desenvolveremos:

C b = Q V = 1 V   σ A 2 +   σ f A 2 = A 2 V   ϵ 0 V d +   ϵ 0 V d ϵ r = A ϵ 0 d 1 + ϵ r 2

C b C 0 = 1 + ϵ r 2

Passo 3

Organizaremos nosso raciocínio desenvolvido nos passos anteriores, através da resposta em forma de tabela para essa questão. Assumiremos também, que o eixo x aponta para baixo, de modo a termos:

Prontinho, pessoal!! Bora resolver mais uma questão juntos?

Resposta