O ‘teorema de inversão’ para transformadas de Fourier diz que

ϕ z = ∫ - ∞ ∞ ϕ k e i k z   d k ↔ ϕ k = 1 2 π ∫ - ∞ ∞ ϕ z e - i k z   d z

Use isso para determinar A ( k ) , na Equação 9.20, em termos de f ( z , 0 ) e f ' ( z , 0 ) .

[Resposta: 1 2 π ∫ - ∞ ∞ f z , 0 + i ω f ' z , 0 e - i k z   d z

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Sabemos que o seguinte é verdadeiro:

f - z , t = ∫ - ∞ ∞ A - k e i k z - ω t   d k

Onde f ( z , t ) é a parte real do lado esquerdo. As condições iniciais são:

f - z , 0 = ∫ - ∞ ∞ A - k e i k z   d k

E

f - z , 0 = - i ∫ - ∞ ∞ A - k ω e i k z   d k

Agora, nós temos que

f z , 0 = R f - z , 0 = 1 2 f - z , 0 + f * - z , 0

Expandindo para as integrais, nós temos que

f z , 0 = 1 2 ∫ - ∞ ∞ A - k e i k z   d k + 1 2 ∫ - ∞ ∞ A - * - k e i k z   d k

Mudando a variável de integração na segunda integral para - k :

f z , 0 = ∫ - ∞ ∞ 1 2 A - k + A * - - k e i k z   d k

Pelo teorema da inversão temos:

1 2 A - k + A * - - k = 1 2 π ∫ - ∞ ∞ f z , 0 e - i k z   d z   ( 1 )

Passo 2

Agora é só fazer o mesmo, mas para a segunda condição inicial:

f z , 0 = R f - z , 0 = 1 2 f - z , 0 + f * - z , 0

Expandindo os termos, nós temos que

f z , 0 = 1 2 ∫ - ∞ ∞ - i ω A - k e i k z   d k + 1 2 ∫ - ∞ ∞ - i ω A - * k e - i k z   d k

Novamente, mude a variável de integração na segunda integral para - k e faça a transformada inversa de Fourier:

f ˙ z , 0 = ∫ - ∞ ∞ - i ω 2 A ~ k - A ~ * - k e i k z   d k

Substituindo os termos,

- i ω 2 A ~ k - A ~ * - k = 1 2 π ∫ - ∞ ∞ f ˙ z , 0 e - i k z   d z

E

1 2 A ~ k - A ~ * - k = i 2 π ω ∫ - ∞ ∞ f ˙ z , 0 e - i k z   d z     ( 2 )

Agora basta somar (1) e (2) para obter o resultado:

A ~ k = 1 2 π ∫ - ∞ ∞ f z , 0 + i ω f z , 0 e - i k z   d z

Resposta

A ~ k = 1 2 π ∫ - ∞ ∞ f z , 0 + i ω f z , 0 e - i k z   d z