Para o Teorema 1, mostre que (d)(a), (a)(c), (c)(b), (b)(c) e (c)(a).
Passo 1
E aí, gente! Você deve estar agora preocupado em como resolver essa questão com teorema. Por sorte, o Responde Aí veio ao seu resgate.
Primeiramente, temos que mostrar que (d)(a), ou seja, que
Para isso, temos que calcular o rotacional do divergente. Temos
Assim,
Mas,
Logo,
Check!
Passo 2
Agora, vamos checar que (a)(c), ou seja, . Nesse caso, vamos usar o teorema de Stokes
Check!
Passo 3
Nesse passo, nós vamos checar que (c)(b): é independente do caminho, para quaisquer pontos extremos. Para mostrar isso, vamos subtrair por dois caminhos diferentes e mostrar que os dois caminhos são iguais. Olha só,
onde, na última igualdade nós invertemos o integrando da segunda integral e com isso mudamos o sinal dela. Então, estamos integrando de pelo caminho e de pelo caminho . Isso dá um caminho fechado. Logo,
Ou seja, : a integral é independente do caminho.
Passo 4
A bola da vez agora é provar (b)(c): é independente do caminho . É igual ao passo anterior, só que diferente porque é o raciocínio inverso:
é independente do caminho
Passo 5
Para finalizar, temos que mostrar que (c)(a): . Aqui, seguimos o mesmo raciocínio do Passo 2 mas no sentido inverso:
onde usamos o teorema de Stokes na primeira igualdade.
Por enquanto é só. Até mais!
Resposta
Veja a resolução acima.