Para o Teorema 1, mostre que (d) (a), (a) (c), (c) (b), (b) (c) e (c) (a).

Passo 1

E aí, gente! Você deve estar agora preocupado em como resolver essa questão com teorema. Por sorte, o Responde Aí veio ao seu resgate.

Primeiramente, temos que mostrar que (d) (a), ou seja, que

F → = - ∇ V ⇒ ∇ × F → = 0

Para isso, temos que calcular o rotacional do divergente. Temos

∇   × A → = ∂ A z ∂ y - ∂ A y ∂ z x ^ + ∂ A x ∂ z - ∂ A z ∂ x y ^ + ∂ A y ∂ x - ∂ A x ∂ y z ^

Assim,

∇   × ( - ∇ V ) = ∂ ( - ∇ V ) z ∂ y - ∂ ( - ∇ V ) y ∂ z x ^ + ∂ ( - ∇ V ) x ∂ z - ∂ ( - ∇ V ) z ∂ x y ^ + ∂ ( - ∇ V ) y ∂ x - ∂ ( - ∇ V ) x ∂ y z ^

Mas,

∇ V ( x , y , z ) = ∂ V ∂ x x ^ + ∂ V ∂ y y ^ + ∂ V ∂ z z ^

Logo,

∇   × ( - ∇ V ) = - ∂ 2 V ∂ y ∂ z - ∂ 2 V ∂ z ∂ y x ^ + ∂ 2 V ∂ z ∂ x - ∂ 2 V ∂ x ∂ z y ^ + ∂ 2 V ∂ x ∂ y - ∂ 2 V ∂ y ∂ x z ^ = 0 →

Check!

Passo 2

Agora, vamos checar que (a) (c), ou seja, ∇ × F → = 0 ⇒ ∮ F → ⋅ d l → = 0 . Nesse caso, vamos usar o teorema de Stokes

∮ F → ⋅ d l → = ∫ ∇ × F → ⋅ d a → = 0

Check!

Passo 3

Nesse passo, nós vamos checar que (c) (b): ∮ F → ⋅ d l → = 0 ⇒ ∮ F → ⋅ d l → é independente do caminho, para quaisquer pontos extremos. Para mostrar isso, vamos subtrair ∮ F → ⋅ d l → por dois caminhos diferentes e mostrar que os dois caminhos são iguais. Olha só,

∮ I F → ⋅ d l → - ∮ I I F → ⋅ d l → = ∫ a   I b F → ⋅ d l → - ∫ a   I I b F → ⋅ d l → = ∫ a   I b F → ⋅ d l → + ∫ b   I I a F → ⋅ d l →

onde, na última igualdade nós invertemos o integrando da segunda integral e com isso mudamos o sinal dela. Então, estamos integrando de a → b pelo caminho I e de b → a pelo caminho I I . Isso dá um caminho fechado. Logo,

∮ I F → ⋅ d l → - ∮ I I F → ⋅ d l → = ∫ a   I b F → ⋅ d l → + ∫ b   I I a F → ⋅ d l → = ∮ F → ⋅ d l → = 0

Ou seja, ∮ I F → ⋅ d l → = ∮ I I F → ⋅ d l → : a integral ∮ F → ⋅ d l → é independente do caminho.

Passo 4

A bola da vez agora é provar (b) (c): ∮ F → ⋅ d l → = 0 ⇒ ∮ F → ⋅ d l → é independente do caminho ⇒ ∮ F → ⋅ d l → = 0 . É igual ao passo anterior, só que diferente porque é o raciocínio inverso:

∮ F → ⋅ d l → é independente do caminho ⇒ ∮ I F → ⋅ d l → = ∮ I I F → ⋅ d l →

⇒ ∮ I F → ⋅ d l → - ∮ I I F → ⋅ d l → = 0 ⇒ ∫ a   I b F → ⋅ d l → - ∫ a   I I b F → ⋅ d l → = ∫ a   I b F → ⋅ d l → + ∫ b   I I a F → ⋅ d l → = 0

⇒ ∮ F → ⋅ d l → = 0

Passo 5

Para finalizar, temos que mostrar que (c) (a): ∮ F → ⋅ d l → = 0 ⇒ ∇ × F → = 0 . Aqui, seguimos o mesmo raciocínio do Passo 2 mas no sentido inverso:

∫ ∇ × F → ⋅ d a → = ∮ F → ⋅ d l → = 0

onde usamos o teorema de Stokes na primeira igualdade.

Por enquanto é só. Até mais!

Resposta

Veja a resolução acima.