Na teoria de Bohr sobre o hidrogênio, o elétron no seu estado fundamental deveria supostamente viajar em um círculo de raio 5 × 10 - 11   m , mantido em órbita pela atração Coulombiana do próton. Segundo a eletrodinâmica clássica, esse elétron deve radiar e, portanto, espiralar para dentro do núcleo. Mostre que v ≪ c para a maior parte da viagem (para que você possa usar a fórmula de Larmor), e calcule o tempo de vida do átomo de Bohr. (Assuma que cada revolução é essencialmente circular.)

Passo 1

Opa, essa questão é muito boa. Vamos lá resolvê-la?!

Vamos começar analisando o que nos foi dado e utilizar o que já sabemos. Assim, temos que

F = 1 4 π ϵ 0 q 2 r 2 = m a = m v 2 r ⇒ v = 1 4 π ϵ 0 q 2 m r

Temos que no estado fundamental, r 0 = 0,5   Å .

v c = 1,6 × 10 - 19 2 4 π 8,86 × 10 - 12 9,11 × 10 - 31 5 × 10 - 11 - 1 / 2   1 3 × 10 8 = 0,0075

E quando o raio é um centésimo deste v / c é apenas 10 vezes maior ( 0,075 ) , então durante a maior parte da viagem a velocidade é seguramente não relativística.

Passo 2

Da fórmula de Larmor, temos

P = μ 0 q 2 6 π c v 2 r 2 = μ 0 q 2 6 π c 1 4 π ϵ 0 q 2 m r 2 2

Temos que a = v 2 / r , e P = - d U / d t , onde U é a energia total do elétron:

U = U c i n + U p o t = 1 2 m v 2 - 1 4 π ϵ 0 q 2 r = 1 2 1 4 π ϵ 0 q 2 r - 1 4 π ϵ 0 q 2 r = - 1 8 π ϵ 0 q 2 r

Então,

- d U d t = - 1 8 π ϵ 0 q 2 r 2 d r d t = P = q 2 6 π ϵ 0 c 3 1 4 π ϵ 0 q 2 m r 2 2

d r d t = - 1 3 c q 2 2 π ϵ 0 m c 2 1 r 2

Ou então,

d t = - 3 c 2 π ϵ 0 m c q 2 2 r 2   d r ⇒ t = - 3 c 2 π ϵ 0 m c q 2 2 ∫ r 0 0 r 2 d r = c 2 π ϵ 0 m c q 2 2 r 0 3

= 3 × 10 8 2 π 8,85 × 10 - 12 9,11 × 10 - 31 3 × 10 8 1,6 × 10 - 19 2 2 5 × 10 - 11 3 = 1,3 × 10 - 11   s

(Não muito tempo!)

Resposta

Ver Passo 1 e 2.