Teste o teorema do divergente para a função v = x y x ^ + 2 y z y ^ + 3 z x z ^ . Use como volume o cubo mostrado na figura 1.30, com lados de comprimento 2. Passo 1Vamos lá. Temos a seguinte função: v = x y x ^ + 2 y z y ^ + 3 z x z ^ De acordo com o teorema fundamental, temos: ∫ v ∇ ∙ v d τ = ∳ s v ∙ d a ∳ Assim teremos: ∇ ∙ v = y + 2 z + 3 x ∫ ∇ ∙ v d τ = ∫ y + 2 z + 3 x d x d y d z = ∫ 0 2 ∫ 0 2 ∫ 0 2 y + 2 z + 3 x d x d y d z ∫ 0 2 ∫ 0 2 y + 2 z x + 3 x 2 2 0 2 d y d z ∫ 0 2 ∫ 0 2 2 y + 2 z + 6 d y d z ∫ 0 2 ∫ 0 2 2 y + 4 z + 6 d y d z ∫ 0 2 2 y 2 2 + 4 z y + 6 y 0 2 d z ∫ 0 2 2 2 + 8 z + 12 d z ∫ 0 2 8 z + 1 6 d z 8 z 2 2 + 16 z 0 2 = 16 + 32 = 48 Passo 2Enumerando os lados do cubo, como na figura, iremos analisar um por um: v = x y x ^ + 2 y z y ^ + 3 z x z ^ Para ( i ) : x = 2 , d a = d y d z x ^ ∳ s v ∙ d a = ∫ 0 2 ∫ 0 2 ( x y ) d y d z = ∫ 0 2 ∫ 0 2 ( 2 y ) d y d z ∳ ∫ 0 2 2 2 y 2 0 2 d z ∫ 0 2 4 d z 4 z 0 2 = 4 ∙ 2 = 8 Para ( i i ) : x = 0 , d a = - d y d z x ^ ∳ s v ∙ d a = ∫ 0 2 ∫ 0 2 ( x y ) d y d z = ∫ 0 2 ∫ 0 2 ( 0 ∙ y ) d y d z = 0 ∳ Para ( i i i ) : y = 2 , d a = d x d z y ^ ∳ s v ∙ d a = ∫ 0 2 ∫ 0 2 ( 2 y z ) d x d z = ∫ 0 2 ∫ 0 2 ( 2 ∙ 2 ∙ z ) d x d z = ∫ 0 2 ∫ 0 2 ( 4 z ) d x d z ∳ ∫ 0 2 4 z x 0 2 d z ∫ 0 2 8 z d z 8 z 2 2 0 2 = 8 4 2 = 16 Para ( i v ) : y = 0 , d a = - d x d z y ^ ∳ s v ∙ d a = ∫ 0 2 ∫ 0 2 ( 2 y z ) d x d z = ∫ 0 2 ∫ 0 2 ( 2 ∙ 0 ∙ z ) d x d z = 0 ∳ Para ( v ) : z = 2 , d a = d x d y z ^ ∳ s v ∙ d a = ∫ 0 2 ∫ 0 2 ( 3 z x ) d x d y = ∫ 0 2 ∫ 0 2 ( 3 ∙ 2 ∙ x ) d x d y = ∫ 0 2 ∫ 0 2 ( 6 x ) d x d y ∳ ∫ 0 2 6 2 x 2 0 2 d y ∫ 0 2 12 d y 12 y 0 2 = 12 ∙ 2 = 24 Para ( v i ) : z = 0 , d a = - d x d y z ^ ∳ s v ∙ d a = ∫ 0 2 ∫ 0 2 ( 3 z x ) d x d y = ∫ 0 2 ∫ 0 2 ( 3 ∙ 0 ∙ x ) d x d y = 0 ∳ Portanto, somando o valor de cada intervalo teremos: ∳ s v ∙ d a = 8 + 0 + 16 + 0 + 24 + 0 = 48 ∳ RespostaPronto! Verificamos o teorema da divergente para a função v = x y x ^ + 2 y z y ^ + 3 z x z ^ . ∳ s v ∙ d a = 48 ∳ Conseguiu chegar ao mesmo resultado aí? MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA