Teste o teorema do divergente para a função v = x y x ^ + 2 y z y ^ + 3 z x z ^ . Use como volume o cubo mostrado na figura 1.30, com lados de comprimento 2.

Passo 1

Vamos lá. Temos a seguinte função:

  v = x y x ^ + 2 y z y ^ + 3 z x z ^

De acordo com o teorema fundamental, temos:

∫ v ∇ ∙ v d τ = ∳ s v ∙ d a

Assim teremos:

∇ ∙ v = y + 2 z + 3 x

∫ ∇ ∙ v d τ = ∫ y + 2 z + 3 x d x d y d z = ∫ 0 2 ∫ 0 2 ∫ 0 2 y + 2 z + 3 x d x d y d z

∫ 0 2 ∫ 0 2 y + 2 z x + 3 x 2 2 0 2 d y d z

∫ 0 2 ∫ 0 2 2 y + 2 z + 6 d y d z

∫ 0 2 ∫ 0 2 2 y + 4 z + 6 d y d z

∫ 0 2 2 y 2 2 + 4 z y + 6 y 0 2 d z

∫ 0 2 2 2 + 8 z + 12 d z

∫ 0 2 8 z + 1 6 d z

8 z 2 2 + 16 z 0 2 = 16 + 32 = 48

Passo 2

Enumerando os lados do cubo, como na figura, iremos analisar um por um:

v = x y x ^ + 2 y z y ^ + 3 z x z ^

Para ( i ) :

x = 2   ,     d a = d y d z   x ^

∳ s v ∙ d a = ∫ 0 2 ∫ 0 2 ( x y ) d y d z = ∫ 0 2 ∫ 0 2 ( 2 y ) d y d z

∫ 0 2 2 2 y 2 0 2 d z

∫ 0 2 4 d z

4 z 0 2 = 4 ∙ 2 = 8

Para ( i i ) :

x = 0   ,     d a = - d y d z   x ^

∳ s v ∙ d a = ∫ 0 2 ∫ 0 2 ( x y ) d y d z = ∫ 0 2 ∫ 0 2 ( 0 ∙ y ) d y d z = 0

Para ( i i i ) :

y = 2   ,     d a = d x d z   y ^

∳ s v ∙ d a = ∫ 0 2 ∫ 0 2 ( 2 y z ) d x d z = ∫ 0 2 ∫ 0 2 ( 2 ∙ 2 ∙ z ) d x d z = ∫ 0 2 ∫ 0 2 ( 4 z ) d x d z

∫ 0 2 4 z x 0 2 d z

∫ 0 2 8 z d z

8 z 2 2 0 2 = 8 4 2 = 16

Para ( i v ) :

y = 0   ,     d a = - d x d z   y ^

∳ s v ∙ d a = ∫ 0 2 ∫ 0 2 ( 2 y z ) d x d z = ∫ 0 2 ∫ 0 2 ( 2 ∙ 0 ∙ z ) d x d z = 0

Para ( v ) :

z = 2   ,     d a = d x d y   z ^

∳ s v ∙ d a = ∫ 0 2 ∫ 0 2 ( 3 z x ) d x d y = ∫ 0 2 ∫ 0 2 ( 3 ∙ 2 ∙ x ) d x d y = ∫ 0 2 ∫ 0 2 ( 6 x ) d x d y

∫ 0 2 6 2 x 2 0 2 d y

∫ 0 2 12 d y

12 y 0 2 = 12 ∙ 2 = 24

Para ( v i ) :

z = 0   ,     d a = - d x d y   z ^

∳ s v ∙ d a = ∫ 0 2 ∫ 0 2 ( 3 z x ) d x d y = ∫ 0 2 ∫ 0 2 ( 3 ∙ 0 ∙ x ) d x d y = 0

Portanto, somando o valor de cada intervalo teremos:

∳ s v ∙ d a = 8 + 0 + 16 + 0 + 24 + 0 = 48

Resposta

Pronto! Verificamos o teorema da divergente para a função v = x y x ^ + 2 y z y ^ + 3 z x z ^ .

∳ s v ∙ d a = 48

Conseguiu chegar ao mesmo resultado aí?