Toda a eletrostática decorre do caráter decorre do caráter 1 r 2 da lei de Coulomb, aliado ao princípio da superposição. Uma teoria análoga pode, portanto, ser construída para a lei da gravitação universal de Newton. Qual é a energia gravitacional de uma esfera de massa M e raio R , presumindo que a sua densidade seja uniforme? Use o seu resultado para estimar a energia gravitacional do sol (consulte os números relevantes). Observe que esta energia é n e g a t i v a – massa se a t r a e m , enquanto cargas (de mesmo sinal) se repelem. Á medida em que a matéria é ‘consumida’, para produzir a luz solar, a energia potencial é convertida em outras formas de energia (tipicamente térmica), e subsequentemente liberada na forma de radiação. O sol irradia a uma taxa de 3,86 × 10 26   W ; se tudo isso viesse da energia gravitacional armazenada, quanto tempo o sol duraria? [O sol, na realidade, é muito mais velho do que isso, portanto, evidentemente, essa n ã o é a fonte da sua energia.]

Passo 1

Faaala, pessoal! Bora pra mais uma. Para a primeira pergunta, vamos primeiro comparar a lei de Coulomb (1) com a lei universal da gravitação (2):

F = 1 4 π ϵ 0 q 1 q 2 r 2   r ^                         ( 1 )

F =   - G m 1 m 2 r 2   r ^                       ( 2 )

Comparando as duas equações, podemos notar que G está representado por 1 4 π ϵ 0 na lei de Coulomb e m está representada por q . A energia armazenada em uma esfera sólida uniformemente carregada de raio R e carga q é dada, em termos da lei de Coulomb, por:

W = 1 4 π ϵ 0 3 5 q 2 R  

Substituindo pelos equivalentes da lei universal da gravitação:

W = 3 5   G M 2 R

M → m a s s a   d o   s o l ≈ 1,99 × 10 30   k g

G → c o n s t a n t e   d e   g r a v i t a ç ã o   u n i v e r s a l ≈ 6,67 × 10 - 11   N m 2 / k g 2

R → r a i o   d o   c o l ≈ 6,96 × 10 8 m

Substituindo os valores na fórmula, teremos:

W = 3 5   6,67 × 10 - 11   1,99 × 10 30 2 ( 6,96 × 10 8 ) ≅ 2,28 × 10 41   J

Passo 2

Por fim, para descobrir em quanto tempo o sol irradiaria toda sua energia, basta dividirmos o total de energia armazenada pela taxa de irradiação:

t = W P = 2,28 × 10 41 3,86 × 10 26 = 5,90 × 10 14 s = 1,87 × 10 7   a n o s

Resposta

W ≅ 2,28 × 10 41   J

t = 1,87 × 10 7   a n o s