Um transformador (Problema 7.53) recebe uma voltagem de entrada alternada (AC) com amplitude V 1 , e fornece uma voltagem de saída de amplitude V 2 , que é determinada pela razão das voltas V 2 / V 1 = N 2 / N 1 . Se N 2 > N 1 , a voltagem de saída será maior que a voltagem de entrada. Por que isso não transgride a lei de conservação de energia? Resposta: potência é o produto de voltagem e corrente; evidentemente, se a voltagem aumenta, a corrente tem de diminuir. O objetivo deste problema é ver exatamente como isso funciona em um modelo simplificado.

(d)Mostre que a voltagem de saída ( V s a í d a = I 2 R ) dividida pela voltagem de entrada V e n t r a d a é igual a razão entre as voltas: V s a í d a / V e n t r a d a = N 2 / N 1 .

(e)Calcule a potência de entrada ( P e n t r a d a = V e n t r a d a I 1 ) e a potência de saída ( P s a í d a = V s a í d a I 2 ), e mostre que as suas médias sobre um ciclo completo são iguais.

Passo 1

(d)Lembra que V e n t r a d a = V 1 c o s ( ω t ) e V s a í d a = I 2 R . Então

V s a í d a V e n t r a d a = I 2 R V 1 c o s ( ω t )

No item (c), nós calculamos I 2 = - V 1 L 2 M R c o s ( ω t ) . Assim,

V s a í d a V e n t r a d a = - V 1 L 2 M R c o s ( ω t ) R V 1 c o s ( ω t ) = - L 2 M

No item (a), nós vimos que M N 1 = L 2 N 2 ⇒ L 2 M = N 2 N 1 . Ou seja, a voltagem de saída ( V s a í d a = I 2 R ) dividida pela voltagem de entrada V e n t r a d a é igual a razão entre as voltas:

V s a í d a V e n t r a d a = - L 2 M = - N 2 N 1

Passo 2

(e)Último item pessoal, estamos próximos do final. Usando os resultados dos itens anteriores, nós podemos calcular

P e n t r a d a = V e n t r a d a I 1 = V 1 c o s ( ω t ) V 1 L 1 1 ω s e n ( ω t ) + L 2 R c o s   ( ω t )

P e n t r a d a = V 1 2 L 1 1 ω s e n ( ω t ) c o s ( ω t ) + L 2 R c o s 2   ( ω t )

e

P s a í d a = V s a í d a I 2 = I 2 R I 2 = R - V 1 L 2 M R c o s ( ω t ) 2 = V 1 2 L 2 2 M 2 R c o s 2 ( ω t )

Para obter a média dessas potências, a gente tem que integrar no tempo. Já lembrando que a integral de c o s 2 ( ω t ) é 1 2 enquanto a de s e n ( ω t ) c o s ( ω t ) é zero (você pode verificar ou consultar uma tabela de integrais, caso não lembre). Então

< P e n t r a d a > = 1 2 V 1 2 L 2 L 1 R

< P s a í d a > = 1 2 V 1 2 L 2 2 M 2 R = 1 2 V 1 2 L 2 L 1 R

onde usamos M 2 = L 1 L 2 no último passo. Então, a média das potências em um ciclo completo é igual

< P e n t r a d a > = < P s a í d a >

Resposta

Veja a resolução acima.