Um transformador (Problema 7.53) recebe uma voltagem de entrada alternada (AC) com amplitude V 1 , e fornece uma voltagem de saída de amplitude V 2 , que é determinada pela razão das voltas V 2 / V 1 = N 2 / N 1 . Se N 2 > N 1 , a voltagem de saída será maior que a voltagem de entrada. Por que isso não transgride a lei de conservação de energia? Resposta: potência é o produto de voltagem e corrente; evidentemente, se a voltagem aumenta, a corrente tem de diminuir. O objetivo deste problema é ver exatamente como isso funciona em um modelo simplificado.

(a)Em um transformador ideal, o mesmo fluxo passa por todas as voltas da bobina primária e da secundária. Mostre que neste caso M 2 = L 1 L 2 , onde M é a indutância mútua das bobinas e L 1 , L 2 são as autoindutâncias individuais.

(b)Suponha que a bobina primária é ativada pela voltagem V e n t r a d a = V 1 c o s ( ω t ) , e que a secundária está conectada a um resistor R . Mostre que as duas correntes satisfazem as equações

L 1 d I 1 d t + M d I 2 d t = V 1 c o s ( ω t ) ;     L 2 d I 2 d t + M d I 1 d t = - I 2 R    

(c)Usando o resultado (a), resolva estas equações para I 1 ( t ) e I 2 ( t ) . (Assuma que I 1 não tem componente DC.

Passo 1

E aí, pessoal! Mais um desafio, mas fica tranquilo que a gente Responde Aí juntos.

(a) Já que o mesmo fluxo passa pelas duas bobinas, vamos supor que Φ é o fluxo passando em uma volta de alguma das bobinas. O fluxo da bobina 1 vai ter a contribuição da autoindutância dela e da indutância da segunda:

Φ 1 = I 1 L 1 + M I 2 = N 1 Φ

Φ 2 = I 2 L 2 + M I 1 = N 2 Φ

Resolvendo para Φ , encontramos

Φ = I 1 L 1 N 1 + M I 2 N 1 = I 2 L 2 N 2 + M I 1 N 2

Podemos assumir que I 1 = 0 e, nesse caso, temos M N 1 = L 2 N 2 . Se I 2 = 0 , temos L 1 N 1 = M N 2 . Agora, dividimos M N 1 = L 2 N 2 por L 1 N 1 = M N 2 e ficamos com

M L 1 = L 2 M ⇒ M 2 = L 1 L 2

Passo 2

(b)Usando as equações do item (a)

Φ 1 = I 1 L 1 + M I 2 = N 1 Φ

Φ 2 = I 2 L 2 + M I 1 = N 2 Φ

podemos calcular a fem nos dois casos

ε 1 = d Φ 1 d t = d I 1 d t L 1 + M d I 2 d t = V 1 c o s ( ω t )

- ε 2 = d Φ 2 d t = d I 2 d t L 2 + M d I 1 d t = - I 2 R

Passo 3

(c)No item (b) nós vimos que

ε 1 = d Φ 1 d t = d I 1 d t L 1 + M d I 2 d t = V 1 c o s ( ω t )

- ε 2 = d Φ 2 d t = d I 2 d t L 2 + M d I 1 d t = - I 2 R

Multiplicando a primeira equação por L 2 , obtemos

d Φ 1 d t = d I 1 d t L 1 L 2 + M d I 2 d t L 2 = V 1 L 2 c o s ( ω t )

Por outro lado,

d I 2 d t L 2 = - M d I 1 d t - I 2 R

Vamos substituir isso em

d I 1 d t L 1 L 2 + M d I 2 d t L 2 = V 1 L 2 c o s ( ω t )

d I 1 d t L 1 L 2 + M - M d I 1 d t - I 2 R = V 1 L 2 c o s ( ω t )

Organizando os termos e lembrando que L 1 L 2 = M 2 :

d I 1 d t M 2 - M 2 d I 1 d t - I 2 M R = V 1 L 2 c o s ( ω t )

- I 2 M R = V 1 L 2 c o s ( ω t ) ⇒ I 2 = - V 1 L 2 M R c o s ( ω t )

Agora a gente substitui esse resultado na primeira fem e resolver para I 1 :

d I 1 d t L 1 + M d I 2 d t = V 1 c o s ( ω t )

⇒ d I 1 d t L 1 + M V 1 L 2 M R ω s e n   ( ω t ) = V 1 c o s ( ω t )

⇒ d I 1 d t = - M L 1 V 1 L 2 M R ω s e n   ( ω t ) + V 1 L 1 c o s ( ω t )

⇒ d I 1 d t = V 1 L 1 c o s ( ω t ) - L 2 R ω s e n   ( ω t )

⇒ I 1 = V 1 L 1 1 ω s e n ( ω t ) + L 2 R c o s   ( ω t )

Resposta

(c) I 2 = - V 1 L 2 M R c o s ( ω t )

I 1 = V 1 L 1 1 ω s e n ( ω t ) + L 2 R c o s   ( ω t )