Um tubo retangular que corre paralelo ao eixo , tem três lados de metal aterrados, em , e . O quarto lado, em , é mantido em um potencial específico .
a) Desenvolva uma fórmula geral para o potencial no interior do tubo.
b) Encontre o potencial explicitamente, para o caso .
Passo 1
a) Faala, pessoal! Bora resolver essa questãozinha. Para desenvolver uma expressão geral para o potencial, utilizaremos a equação de Laplace inicialmente já que nos foram dadas condições de contorno:
O enunciado nos deu as seguintes condições de contorno:
Utilizando a separação de variáveis, temos a seguinte expressão para o potencial:
Das nossas condições de contorno, vamos obter que:
Passo 2
Com as informações obtidas através das condições de contorno, teremos a seguinte expressão para o potencial:
Portanto:
Agora, como o termo (2AC) é uma constante, a combinação linear mais geral de soluções será dada por:
Passo 3
Agora que já definimos uma expressão para o potencial, temos que descobrir os valores dos coeficientes que satisfazem a condição de contorno 4, para isso faremos:
Utilizando o truque de Fourier:
Isolando o termo , teremos:
Passo 4
Para encontrar o potencial explicitamente para o caso constante, vamos descobrir o comportamento dos coeficientes resolvendo a integral anterior:
Portanto, substituindo na expressão do potencial, teremos:
E aqui finalizamos a questão, galera! Nos vamos na próxima 😉
Resposta
a)
b)