Um tubo retangular que corre paralelo ao eixo z d e   ( - ∞   a + ∞ ) , tem três lados de metal aterrados, em y = 0 , y = a e x = 0 . O quarto lado, em x = b , é mantido em um potencial específico V 0 ( y ) .

a) Desenvolva uma fórmula geral para o potencial no interior do tubo.

b) Encontre o potencial explicitamente, para o caso V 0 y = V 0   ( u m a   c o n s t a n t e ) .

Passo 1

a) Faala, pessoal! Bora resolver essa questãozinha. Para desenvolver uma expressão geral para o potencial, utilizaremos a equação de Laplace inicialmente já que nos foram dadas condições de contorno:

∂ 2 V ∂ x 2 + ∂ 2 V ∂ y 2 = 0

O enunciado nos deu as seguintes condições de contorno:

1 ª           →                 V x , 0 = 0 , 2 ª           →                 V x , a = 0 , 3 ª           →                 V 0 , y = 0 , 4 ª   →     V b , y = V 0 y .

Utilizando a separação de variáveis, temos a seguinte expressão para o potencial:

V x , y = ( A e k x + B e - k x ) ( C   s e n k y + D cos ⁡ k y )

Das nossas condições de contorno, vamos obter que:

1 ª     →     D = 0

2 ª   → k a   s e r á   u m   i n t e i r o   m ú l t i p l o   d e   π

3 ª →     B =   - A

Passo 2

Com as informações obtidas através das condições de contorno, teremos a seguinte expressão para o potencial:

V x , y =   A C e n π x a - e - n π x a s e n n π y a = 2 A C s e n h n π x a s e n n π y a

Portanto:

V x , y = 2 A C s e n h n π x a s e n n π y a

Agora, como o termo (2AC) é uma constante, a combinação linear mais geral de soluções será dada por:

V x , y = ∑ n = 1 ∞ C n s e n h n π x a s e n n π y a

Passo 3

Agora que já definimos uma expressão para o potencial, temos que descobrir os valores dos coeficientes C n que satisfazem a condição de contorno 4, para isso faremos:

∑ C n s e n h n π x a s e n n π y a = V 0 ( y )

Utilizando o truque de Fourier:

C n s e n h n π b a = 2 a ∫ 0 a V 0 y s e n n π y a d y

Isolando o termo C n , teremos:

C n = 2 a s e n h n π b a   ∫ 0 a V 0 y s e n n π y a d y

Passo 4

Para encontrar o potencial explicitamente para o caso constante, vamos descobrir o comportamento dos coeficientes C n resolvendo a integral anterior:

C n = 2 a s e n h n π b a   ∫ 0 a V 0 y s e n n π y a d y = 2 V 0 a s e n h n π b a ×   0 ,         s e   n   f o r     p a r 2 a n π ,         s e   n   f o r   í m p a r

Portanto, substituindo na expressão do potencial, teremos:

V x , y = 4 V 0 π   ∑ n = 1,3 , 5 , … s e n h n π x a s e n n π y a n s e n h n π b a

E aqui finalizamos a questão, galera! Nos vamos na próxima 😉

Resposta

a)

V x , y = ∑ n = 1 ∞ C n s e n h n π x a s e n n π y a

C n = 2 a s e n h n π b a   ∫ 0 a V 0 y s e n n π y a d y

b)

V x , y = 4 V 0 π   ∑ n = 1,3 , 5 , … s e n h n π x a s e n n π y a n s e n h n π b a