Usando as definições nas equações 1.1 e 1.4, bem como os diagramas apropriados, mostre que os produtos escalar e vetorial são distributivos,

(a) quando os três vetores são coplanares;

(b) no caso geral.

Passo 1

Faaaala meu povo!! Como vocês estão? Bora lá resolver mais uma questãozinha?

Antes de tudo, vamos desenhar o diagrama do problema dado, para que a gente possa entender melhor o que acontece, e qual caminho devemos seguir para fazer o que o problema está pedindo!

Passo 2

A partir do diagrama, quando os três vetores forem coplanares, podemos afirmar que no caso do produto escalar, teremos:

B + C = c o s c o s   θ 3   = B c o s c o s   θ 1   + C c o s c o s   θ 2  

Agora, se multiplicarmos a expressão acima por A , teremos:

A B + C c o s c o s   θ 3   = A B c o s c o s   θ 1   + A C c o s c o s   θ 2  

Portanto:

A * B + C = A * B + A * C

Assim, observamos que o produto escalar é distributivo.

Passo 3

Já para o produto vetorial (quando os três vetores forem coplanares), podemos fazer similarmente ao produto escalar, multiplicando B + C = c o s c o s   θ 3   = B c o s c o s   θ 1   + C c o s c o s   θ 2   por A n ^ :

A B + C c o s c o s   θ 3   n ^ = A B c o s c o s   θ 1   n ^ + A C c o s c o s   θ 2   n ^

Se n ^ é o vetor unitário apontando para fora da página, temos que:

A * B + C = A * B + ( A * C )

Portanto, o produto vetorial também é distributivo.

Passo 4

Já no caso geral, vemos que o diagrama obedece ao produto escalar A * B + C = c o s c o s   θ 3   .

A partir do diagrama, vemos que isso é o mesmo que: A * B + A * C = c o s c o s   θ 3   , e é, portanto, distributivo.

Ainda falando do caso geral, mas no caso do produto vetorial, vemos que: A * B + C = A * B + A * C   devido ao vetor unitário n ^ que aponta para fora da página. Vemos que este caso é o mesmo descrito no passo 2, e, portanto, é distributivo.

Por essa questão é isso galerinha, bora pra mais uma?

Resposta

a. A * B + C = A * B + A * C – distributivo

b. A * B + A * C = c o s c o s   θ 3   - distributivo