Usando a Equação 3.103, calcule o campo elétrico médio de um dipolo sobre um volume esférico de raio R , centrado na origem. Faça primeiro as integrais angulares. [Nota: você precisa expressar r ^   e   θ ^ em termos de x ^ , y ^   e   z ^ (consulte as páginas finais do livro) antes de integrar. Se não entende por que, releia a discussão da Seção 1.4.1.] Compare a sua resposta com o teorema geral da Equação 3.105. A discrepância aqui está relacionada ao fato de que o campo de um dipolo explode em r   =   0 . A integral angular é zero, mas a integral radial é infinita e, portanto, não sabemos, realmente, o que fazer com a resposta. Para resolver este

dilema, digamos que a Equação 3.103 se aplica externamente a uma minúscula esfera de raio ϵ - sua contribuição para E m é d i o : portanto, é inequivocamente zero e a resposta toda tem de vir do campo interno à esfera ϵ . (b) Qual deve ser o campo interno à esfera   ϵ e para que o teorema geral (3.105) seja verdadeiro?

[Dica: como ϵ é arbitrariamente pequeno, estamos falando de algo que é infinito em r   =   0 e cuja integral sobre um volume infinitesimal é finita.]

Passo 1

Falaa galera, bora iniciar mais uma questãozinha do nosso livro!

Bem galerinha, primeiramente vamos encontrar o campo médio do dipolo na origem, sobre a esfera de raio R :

E → a v ϵ = 3 4 π R 3 p 4 π ϵ 0 ∫ 0 R d r r ∫ 0 π ∫ 0 2 π [ 2 cos ⁡ θ ( cos ⁡ θ z ^ + sin ⁡ θ cos ⁡ Φ z ^ + sin ⁡ θ s + sin ⁡ θ ( cos ⁡ θ cos ⁡ Φ x ^ + cos ⁡ θ y ^ - - sin ⁡ θ z ^ ) ]   s i n ⁡   θ d θ d Φ

Claramente o que o campo médio apontará na direção z , então ignoramos os componentes x e y :

E → a v ϵ = 3 4 π R 3 p z ^ 4 π ϵ 0 ∫ 0 R d r r ∫ 0 π ∫ 0 2 π 2 cos 2 ⁡ θ - sin 2 ⁡ θ sin ⁡ θ d θ d Φ

= 3 4 π R 3 p z ^ 4 π ϵ 0 ∫ 0 R d r r ∫ 0 π 3 cos 2 ⁡ θ - 1 sin ⁡ θ d θ

= 3 4 π R 3 p z ^ 4 π ϵ 0 ∫ 0 R d r r ∫ 0 π P 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ d θ = 0

, desde de que:

∫ 0 π P 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ d θ = ∫ 0 π P 0 cos ⁡ θ ∫ 0 π P 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ d θ = 0

Assim, o campo médio parece ser zero, contrariando o Problema 3.47, mas observe que a integral radial explode, pois lim r → ∞ ⁡ ln ⁡ r = -   ∞ .

Passo 2

Letra b)

Evidentemente, há um termo de função delta na origem. O termo terá a forma:

E → = C δ ( r → ) z ^

Limitado pela Eq. 3.105:

E → a v ϵ = 3 4 π ϵ 3 ∫ V E → d r = - 1 4 π ϵ 0 p z ^ ϵ 3  

→ C = - p 3 ϵ 0

Dessa forma, o termo delta então é dado por:

E → = - p z ^ 3 ϵ 0 δ r → = - p → 3 ϵ 0 δ r →

Resposta

Letras a)

O   c a m p o   é   i n d e f i n i d o

Letra b)

E → = - p → 3 ϵ 0 δ r →