a) Usando a lei dos cossenos, mostre que a equação 3.17 pode ser escrita como se segue:

V r , θ =   1 4 π ϵ 0   q r 2 + a 2 - 2 r a c o s θ - q R 2 + r a R 2 - 2 r a c o s θ             ,

Onde r e θ são as coordenadas esféricas polares usuais, com o eixo z ao longo da linha através ed q . Nessa forma, é óbvio que V = 0 na esfera, r = R .

b) Encontre a densidade de carga superficial induzida na esfera, como função de θ , integre para chegar à carga induzida total. (Qual deveria ser?)

c) Calcule a energia desta configuração.

Passo 1

a) Faaala, pessoal! Bora resolver essa questãozinha juntos? Galera, inicialmente vamos estabelecer o posicionamento das nossas cargas da seguinte forma:

Para essa configuração, consideraremos:

r = r 2 + a 2 - 2 r a c o s θ

r ' = r 2 + b 2 - 2 r b c o s θ

Fazendo a razão q ' r ' , teremos:

q ' r ' = - R a q r 2 + b 2 - 2 r b c o s θ

A distância b é dada por:

b = R 2 a

Substituindo na equação anterior (de q ' r ' ) :

- q a R r 2 + b 2 - 2 r b c o s θ =   -   q a r R 2 + R 2 - 2 r a c o s θ

E como o potencial é dado por:

V r ,   θ =   1 4 π ϵ 0 q r + q ' r '

Substituindo:

V r ,   θ = q 4 π ϵ 0 1 r 2 + a 2 - 2 r a c o s θ - 1 a r R 2 + R 2 - 2 r a c o s θ

E como dito pelo enunciado se r → R , a função do potencial irá se zerar

Passo 2

b) A densidade de carga superficial induzida na esfera será dada pela seguinte equação:

σ =   - ϵ 0 ∂ V ∂ n

E para o nosso caso:

∂ V ∂ n = ∂ V ∂ n   n o   p o n t o   r = R

Portanto, aplicando a derivada parcial na expressão para o potencial encontrada anteriormente:

σ θ =   - ϵ 0 q 4 π ϵ 0 - 1 2 r 2 + a 2 - 2 r a c o s z t h e t a   - 3 2 2 r - 2 a c o s θ + 1 2 R 2 + r a R 2 - 2 r a c o s θ - 3 2 a 2 R 2 2 r - 2 a c o s θ r = R

= -   q 4 π - R 2 + a 2 - 2 R a c o s θ - 3 2 R - a c o s θ   + R 2 + a 2 2 R a c o s θ - 3 2 a 2 R - a c o s θ

= q 4 π R 2 + a 2 - 2 R a c o s θ - 3 2 R - a c o s θ - a 2 R + a c o s θ

  = q 4 π R 2 - a 2 R 2 + a 2 - 2 R a c o s θ - 3 2

Agora, vamos integrar a densidade de carga superficial induzida na esfera para chegar a carga induzida total:

∫ σ   d a = q 4 π R R 2 - a 2 ∫ R 2 + a 2 - 2 R a c o s θ - 3 2 R 2 s e n θ d θ d ϕ

=   q 4 π R R 2 - a 2 2 π R     - 1 R a R 2 + a 2 - 2 R a c o s θ - 1 2 0 π

q 2 a a 2 - R 2 1 R 2 + a 2 + 2 R a - 1 R 2 + a 2 - 2 R a

Mas para o nosso caso vamos ter que a > R   (ou caso contrário a carga q estaria dentro da esfera), portanto:

R 2 + a 2 - 2 R a = a - R

Substituindo na expressão anterior:

= q 2 a a 2 - R 2 1 a + R - 1 a - R

= q 2 a a - R - a + R = q 2 a ( - 2 R )

- q R a = q '

Portanto, a carga induzida total será:

q ' =   - q R a

Passo 3

c) Por fim, calcularemos a energia da configuração. Para isso primeiro vamos lembrar que para o nosso caso, a força na carga q devido a esfera será a mesma força na carga imagem q ' , portanto, teremos:

F =   1 4 π ϵ 0 q q ' a - b 2 =   1 4 π ϵ 0 - R a q 2 1 a - R 2 a 2   = -   1 4 π ϵ 0 q 2 R a a 2 - R 2 2  

Logo o trabalho a ser realizado (ou energia necessária) para trazer a carga do infinito até a , integraremos a expressão da força:

W =   q 2 R 4 π ϵ 0 ∫ ∞ a a - ( a - 2 - R 2 ) = d a - = q 2 R 4 π ϵ 0   - 1 2 1 a - 2 - R 2 ∞ a   = 1 4 π ϵ 0 q 2 R 2 ( a 2 - R 2 )

Portanto a expressão da energia da configuração, será:

W = 1 4 π ϵ 0 q 2 R 2 ( a 2 - R 2 )

E aqui chegamos ao fim da questão, galera! Até a próxima 😊

Resposta

a)

V r ,   θ = q 4 π ϵ 0 1 r 2 + a 2 - 2 r a c o s θ - 1 a r R 2 + R 2 - 2 r a c o s θ

b)

q ' =   - q R a

c)

W = 1 4 π ϵ 0 q 2 R 2 ( a 2 - R 2 )