a) Usando a lei dos cossenos, mostre que a equação 3.17 pode ser escrita como se segue:
Onde e são as coordenadas esféricas polares usuais, com o eixo ao longo da linha através ed . Nessa forma, é óbvio que na esfera, .
b) Encontre a densidade de carga superficial induzida na esfera, como função de , integre para chegar à carga induzida total. (Qual deveria ser?)
c) Calcule a energia desta configuração.
Passo 1
a) Faaala, pessoal! Bora resolver essa questãozinha juntos? Galera, inicialmente vamos estabelecer o posicionamento das nossas cargas da seguinte forma:
Para essa configuração, consideraremos:
Fazendo a razão , teremos:
A distância é dada por:
Substituindo na equação anterior (de :
E como o potencial é dado por:
Substituindo:
E como dito pelo enunciado se , a função do potencial irá se zerar
Passo 2
b) A densidade de carga superficial induzida na esfera será dada pela seguinte equação:
E para o nosso caso:
Portanto, aplicando a derivada parcial na expressão para o potencial encontrada anteriormente:
Agora, vamos integrar a densidade de carga superficial induzida na esfera para chegar a carga induzida total:
Mas para o nosso caso vamos ter que (ou caso contrário a carga estaria dentro da esfera), portanto:
Substituindo na expressão anterior:
Portanto, a carga induzida total será:
Passo 3
c) Por fim, calcularemos a energia da configuração. Para isso primeiro vamos lembrar que para o nosso caso, a força na carga devido a esfera será a mesma força na carga imagem , portanto, teremos:
Logo o trabalho a ser realizado (ou energia necessária) para trazer a carga do infinito até , integraremos a expressão da força:
Portanto a expressão da energia da configuração, será:
E aqui chegamos ao fim da questão, galera! Até a próxima 😊
Resposta
a)
b)
c)