Enunciado

Use a análise nodal para calcular o valor de v em regime permanente, se v g = V m cos ⁡ ω t e calcule a amplitude de v para os casos de ω = (a) 0 , (b) 1000 e (c) 10 6 rad/s. Compare o resultado para este circuito com o da Fig. 11.6.

Passo 1

Falaee!! Seguinte... Vamos para o primeiro caso (a), em que ω = 0 . A gente sabe que as reatâncias capacitiva e indutiva são dadas da seguinte forma:

X C =   - j ω C

X L = j ω L

A gente percebe de forma bem simples que ao fazer ω tender a 0 nessas fórmulas aí de cima, vemos que X C = ∞ e X L = 0 . Oooou seja, é como se o capacitor tivesse uma capacitância enoooorme (dando a entender um circuito aberto) e o indutor não tivesse indutância nenhuma (dando a entender um circuito fechado). Dessa forma, teríamos o seguinte circuito equivalente:

Agora ficou fácil perceber que, como os resistores são iguais a queda de tensão v é dada por:

v = v g 2

Logo, a amplitude é dada por:

V = V m 2

Muito simples essa né? ;)

Passo 2

Para o caso (b), temos que ω = 1000 rad/s. Assim, substituindo o circuito dado pelos valores das reatâncias indutivas e capacitivas (mostrado pelas fórmulas apresentadas anteriormente) atribuindo o valor de ω = 1000 rad/s. Temos que:

Agora, vamos selecionar o seguinte nó e atribuir direções da corrente e também vamos colocar o terra (referencial de potencial 0 V) na parte de baixo do circuito para facilitar nossa vida hehe:

Dessa forma, utilizando a Lei dos Kirchhoff das Correntes no nó v 1 , temos:

v g - v 1 100 + j 100 = v 1 - j 50 + v 1 - v j 100 ∴

v g - v 1 100 ( 1 + j ) = - 2 v 1 + v 1 - v j 100 ∴

j v g - j v 1 = - v 1 1 + j - v 1 + j ∴

- v 1 + v - 1 - j = j v g

Ainda, pelo circuito acima percebemos que:

v 1 - v j 100 = v 100 ∴ v 1 + v - 1 - j = 0

Agora é só resolver esse sistema hehe:

- v 1 + v - 1 - j = j v g v 1 + v - 1 - j = 0

Resolvendo o sistema pela Regra de Cramer para o sistema 2x2, temos que v 2 é:

v = - 1 j v g 1 0 - 1 - 1 - j 1 - 1 - j ∴

v = j V g - 2 - j 2 = 0.35 V m ( 1000 t - 135 ° )

Portanto, podemos analisar que a amplitude nesse caso é dada por 0.35 V m .

Passo 3

Para o caso (c), temos que ω = 1 0 6 rad/s. Assim, substituindo o circuito dado pelos valores das reatâncias indutivas e capacitivas (mostrado pelas fórmulas apresentadas anteriormente) atribuindo o valor de ω = 10 6 rad/s. Temos que:

Agora, vamos selecionar o seguinte nó e atribuir direções da corrente e também vamos colocar o terra (referencial de potencial 0 V) na parte de baixo do circuito para facilitar nossa vida hehe:

Dessa forma, utilizando a Lei dos Kirchhoff das Correntes no nó v 1 , temos:

v g - v 1 100 + j 10 5 = v 1 - j 0.0 5 + v 1 - v j 10 5 ∴

v g - v 1 100 + j 10 5 = - 1999999 v 1 - v j 10 5 ∴

j 10 5 v g - j 10 5 v 1 = - 1999999 00 v 1 - 100 v - j 1999999 ∙ 10 5 v 1 - j 10 5 v ∴

v 1 199999900 + j 1.999998 ∙ 10 11 + v 100 + j 10 5 = - j 10 5 v g

Ainda, pelo circuito acima percebemos que:

v 1 - v j 10 5 = v 100 ∴ 100 v 1 - 100 v = j 10 5 v ∴

v 1 100 + v - 100 - j 10 5 = 0

Agora é só resolver esse sistema:

v 1 199999900 + j 1.999998 ∙ 10 11 + v 100 + j 10 5 = - j 10 5 v g v 1 100 + v - 100 - j 10 5 = 0

Resolvendo o sistema pela Regra de Cramer para o sistema 2x2, temos que v 2 é:

v = 199999900 + j 1.999998 ∙ 10 11 - j 10 5 v g 1 00 0 199999900 + j 1.999998 ∙ 10 11 100 + j 10 5 1 00 - 100 - j 10 5 ∴

v = j 10 7 v g 19999960000000000 - j 39999980000000 ≈ 5.01 ∙ 10 - 10 V m ( 10 6 t + 90 ° )

Portanto, podemos analisar que a amplitude nesse caso é dada por 5.01 ∙ 10 - 10 V m .

Resposta

a) V = V m 2  

b) V = 0.35 V m

c) V = 5.01 ∙ 10 - 10 V m

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