a) Use a analogia entre a lei de Faraday e a lei de Ampère, juntamente com a lei de Biot-Savart, para mostrar que

E r , t = - 1 4 π ∂ ∂ t ∫ B r ' , t × r ^ r 2 d τ '

Para campos elétricos com indução de Faraday.

b) Considerando o Problema 5.50a, mostre que

E = - ∂ A ∂ t

Onde A é o potencial vetorial. Verifique este resultado tomando o rotacional de ambos os lados.

c) Uma casca esférica de raio R tem uma carga superficial de densidade uniforme σ . Ela gira em torno de um eixo com velocidade angular ω ( t ) que varia lentamente com o tempo. Encontre o campo elétrico dentro e fora da esfera. [Dica: aqui há duas contribuições, o campo de Coulomb devido à carga e o campo de Faraday devido à variação de B . Consulte o Exemplo 5.11 e use a Equação 7.66.]

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A - A lei de Faraday afirma que

∇ × E = - ∂ B ∂ t

O campo magnético pode ser expresso pela lei de Ampere na forma

B r = μ 0 4 π ∫ J r ' × r r 2 d τ '

Agora, colocando a expressão de B na lei de Faraday para obter a relação entre duas leis, temos que

E r , t = - 1 4 π ∂ ∂ t ∫ B r ' , t × i ^ z 2 d r '   ( 1 )

Passo 2

B - A constante A no problema 5.50a é dada por

A r , t = 1 4 π ∫ B r ' , t × i ^ z 2 d r '

Se compararmos esta equação com a equação (1) na parte (a), obteremos a relação entre A   e E .

E = 1 4 π ϵ 0 Q r 2 r ^

Expandindo os termos, nós temos que

E = 1 4 π ϵ 0 σ 4 π R 2 r 2 r ^ = σ R 2 ϵ 0 r 2 r ^

Este campo elétrico é a contribuição da lei de Coulomb, enquanto da lei de Faraday, é

E = - ∂ A ∂ t

C - Na equação 5.67, a constante A é igual a

A r , θ , ϕ = μ 0 R ω σ 3 r sen ⁡ θ ϕ ^ ,     ( r ≤ R ) μ 0 R 4 ω σ 3 sen ⁡ θ r 2     ϕ ^ ,     ( r ≥ R )

Então, o campo elétrico será igual a

E = μ 0 R ω σ 3 r sen ⁡ θ ϕ ^ ,     ( r ≤ R ) σ R 2 ϵ 0 r 2 r ^ + μ 0 R 4 ω σ 3 sen ⁡ θ r 2     ϕ ^ ,     ( r ≥ R )

Resposta

a )   E r , t = - 1 4 π ∂ ∂ t ∫ B r ' , t × i ^ z 2 d r '

b )   E = - ∂ A ∂ t

c )   E = μ 0 R ω σ 3 r sen ⁡ θ ϕ ^ ,     ( r ≤ R ) σ R 2 ϵ 0 r 2 r ^ + μ 0 R 4 ω σ 3 sen ⁡ θ r 2     ϕ ^ ,     ( r ≥ R )