a) Use a equação 10.68 para calcular o campo elétrico a uma distância d de um fio reto infinito que possui uma densidade linear de carga uniforme λ , movendo-se a uma velocidade constante v pelo fio.

b) Use a equação 10.69 para encontrar o campo magnético desse fio.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

O campo elétrico devido ao comprimento do fio de comprimento d x é o campo da carga puntiforme em movimento uniforme:

d E → = λ d x 4 π ϵ 0 1 - β 2 1 - β 2 sen 2 ⁡ θ 3 2 R ^ R 2

Apenas o componente vertical do campo sobreviverá à integração, então:

d E = λ d x 4 π ϵ 0   1 - β 2 1 - β 2 sen 2 ⁡ θ 3 2 sen ⁡ θ R 2

Fazendo a seguinte substituição

R = D sen ⁡ θ ;   - x = R cos ⁡ θ = d cot ⁡ θ ;     d x = d d θ sen 2 ⁡ θ

Nós temos que

d E = λ d 4 π ϵ 0 1 - β 2 1 - β 2 sen 2 ⁡ θ 3 2 sen 3 ⁡ θ d 2 d θ sen 2 ⁡ θ

E finalmente, nós temos que

d E = λ 4 π ϵ 0 d 1 - β 2 sen ⁡ θ   d θ 1 - β 2 sen 2 ⁡ θ 3 2

Passo 2

O campo elétrico total é basicamente a seguinte integral:

E = λ 2 π ϵ 0 d 1 - β 2 ∫ 0 π 2 sen ⁡ θ   d θ 1 - β 2 sen 2 ⁡ θ 3 2

Como o integrando é simétrico em relação θ = π / 2 . Fazendo a substituição:

u = cos ⁡ θ ;     d u =   - sen ⁡ θ   d θ

Logo, temos o seguinte campo elétrico

E = λ 2 π ϵ 0 d 1 - β 2 ∫ 0 1 d u 1 - β 2 1 - u 2 3 2

A integral é do tipo tabelado:

∫ 0 1 d u 1 - β 2 1 - u 2 3 2 = 1 β 3 ∫ 0 1 d u β - 2 - 1 + u 2 3 2

Que será igual a

∫ 0 1 d u 1 - β 2 1 - u 2 3 2 = 1 β 3 ∫ 0 1 d u A 2 + u 2 3 2

Logo, temos que

A 2 = β - 2 - 1

Resolvendo a integral

1 β 3 ∫ 0 1 d u A 2 + u 2 3 2 = 1 β 3 u A 2 A 2 + u 2 0 1 = 1 β 3 1 β - 2 - 1 β - 1 = 1 1 - β 2

Portanto, o campo elétrico é igual a

E = λ 2 π ϵ 0 d 1 - β 2 1 1 - β 2 = λ 2 π ϵ 0 d

“Vetorizando” o campo

E → = λ 2 π ϵ 0 d s ^

Como o campo elétrico de um fio carregado.

Passo 3

B - Agora, o campo magnético é apenas:

B → = 1 c 2 v → × E → = 1 c 2 v x ^ × λ 2 π ϵ 0 d s ^ = μ 0 λ v 2 π d ϕ ^

Como para o campo magnético de um fio infinito, com I = λ v .

Resposta

a )   E → = λ 2 π ϵ 0 d s ^

b )   B → = μ 0 λ v 2 π d ϕ ^