a) use a fórmula de Neumann para calcular a indutância mútua da configuração, assumindo que a seja muito pequeno ( a ≤ b ,   a ≤ z )

b) para o caso geral (não assumindo que a é pequeno) mostre que

M = μ 0 π B 2 a b β 1 + 15 8 β 2 + … ,         o n d e     β = a b z 2 + a 2 + b 2

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão do livro David J. Griffiths de Eletrodinâmica dado:

a) use a fórmula de Neumann para calcular a indutância mútua da configuração, assumindo que a seja muito pequeno ( a ≤ b ,   a ≤ z )

b) para o caso geral (não assumindo que a é pequeno) mostre que

M = μ 0 π B 2 a b β 1 + 15 8 β 2 + … ,         o n d e     β = a b z 2 + a 2 + b 2

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Na letra (a) para calcular a indutância mútua, temos que se a é pequeno temos para o teorema binomial,

1 1 - 2 β cos ⁡ μ = 1 + β cos ⁡ μ         e         ∫ 0 2 π cos ⁡ μ 1 - 2 β cos ⁡ μ = ∫ 0 2 π cos ⁡ μ   d u + β

∫ 0 2 π cos 2 ⁡ μ   d u = 0 + β π

Logo,

M = μ 0 π 2 a b β 3 , ficando

M = μ 0 π a 2 b 2 2 b 2 + z 2 3 2

Já na letra (b) para mostrar que,

M = μ 0 π β 2 a b β 1 + 15 8 β 2 + … ,     β = a b z 2 + a 2 + b 2

Temos,

1 + e - 1 2 = 1 - 1 2 e + 3 8 e 2 - 5 16 e 3 + … →  

1 1 - 2 β cos ⁡ μ = 1 + β cos ⁡ μ + 3 2 β 2 cos 2 ⁡ μ + 5 2 β 3 cos 3 ⁡ μ + …

Logo,

M = μ 0 2 a b β   { ∫ 0 2 π cos ⁡ u   d u + β ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ u d u + 3 2 β 2 ∫ 0 2 π cos 3 ⁡ μ d u + 5 2 β 3

Ficando,

M = μ 0 π 2 a b β 3 ( 1 + 15 8 β 2 + β 4 + … )

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) M = μ 0 π a 2 b 2 2 b 2 + z 2 3 2

b) M = μ 0 π 2 a b β 3 ( 1 + 15 8 β 2 + β 4 + … )