Use os resultados do Exemplo 5.11 para encontrar o campo dentro de uma esfera uniformemente carregada, de carga total Q e raio R , e que está girando a uma velocidade angular constante ω .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Para uma casca esférica de raio R, carga superficial uniforme σ e velocidade angular ω, o potencial em P ( r , ϕ , θ ) é igual a

A r , ϕ , θ = μ 0 R w σ 3 r sen ⁡ θ   ϕ ^ ,     ( r ≤ R ) μ 0 R 4 w σ 3 sen ⁡ θ r 2   ϕ ^ ,     ( r ≥ R )

Dividimos o disco em n camadas finas esféricas de raio r k ' ,   k = 1,2 , … , n   e grossura Δ r ' = R n e densidade de carga igual a ρ Δ r ' , com n → ∞ , nós podemos dizer que

A r , ϕ , θ = ∫ 0 R A r ' , ϕ , θ   d r '

Portanto, substituindo os termos

A r , ϕ , θ = ∫ 0 r μ 0 r ' w ρ 3 r sen ⁡ θ ϕ ^   d r ' + ∫ r R μ 0 ( r ' ) 4 w ρ 3 sen ⁡ θ r 2 ϕ ^   d r '

Passo 2

Agora, nós vamos resolver essa integral

A r , ϕ , θ = μ 0 ω ρ sen ⁡ θ 3 ϕ ^ ∫ 0 r r ' d r ' + μ 0 ω ρ sen ⁡ θ 3 r 2 ϕ ^ ∫ r R r ' 4   d r '

Logo, fazendo alguns cálculos, nós temos que

A r , ϕ , θ = μ 0 ω ρ r sen ⁡ θ 3 r 3 2 + 1 5 r 2 R 5 - r 5 ϕ ^

Expandindo os termos,

A r , ϕ , θ = μ 0 ω ρ sen ⁡ θ 3 r 3 2 + R 5 5 r 2 - r 3 5 ϕ ^

Que será igual a

A r , ϕ , θ = μ 0 ω ρ sen ⁡ θ 30 r 2 ( 3 r 5 + 2 R 5 ) ϕ ^

Passo 3

Agora, calculamos o campo a partir da equação:

B = ∇ × A

Da equação para o rotacional em coordenadas esféricas:

∇ × f r , ϕ , θ = 1 r 2 sen ⁡ θ r ^ r ^ θ r sen ⁡ θ ϕ ^ ∂ r ∂ θ ∂ ϕ f r r f θ r sin ⁡ θ f ϕ

Nós temos que

∇ × A = 1 r 2 sen ⁡ θ r ^ r ^ θ r sen ⁡ θ ∂ r ∂ θ ∂ ϕ 0 0 r sen ⁡ θ

Desenvolvendo os termos, nós temos que

∇ × A = 1 r 2 sen ⁡ θ ∂ ∂ θ r sen ⁡ θ A r ^ + ∂ ∂ r r sin ⁡ θ A θ ^ = 1 r 2 sen ⁡ θ ∂ ∂ θ μ 0 ω ρ sen 2 ⁡ θ 30 r 3 r 5 + 2 R 5 r ^ - μ 0 ω ρ sen 2 ⁡ θ 30 r 3 r 5 + 2 R 5 θ ^

Que nos fornece o seguinte resultado

∇ × A = μ 0 ω ρ 15 r 4 cos ⁡ θ 3 R 6 + 2 r R 5 r ^ + R 5 - 6 r 5 sen ⁡ θ θ ^

Por fim, tendo em conta que:

ρ = Q V = Q 4 π R 3 = 3 Q 4 π R 2

Logo, o resultado para o campo é igual a

B = μ 0 w Q 20 π R 2 r 4 cos ⁡ θ 3 R 6 + 2 r R 5 r ^ + R 5 - 6 r 5 sen ⁡ θ θ ^

Resposta

B = μ 0 w Q 20 π R 2 r 4 cos ⁡ θ 3 R 6 + 2 r R 5 r ^ + R 5 - 6 r 5 sen ⁡ θ θ ^