Enunciado

O valor inicial de f t cuja transformada é

F s = s + 1 s + 2 s + 3

É

  1. Inexistente
  2. 0
  3. 1
  4. 1 6

Passo 1

Ora, para encontrar valor inicial da função f , primeiro precisamos encontrar quem é a função f t !

Para encontra-la, dada a transformada F s , devemos calcular a transformada inversa!

f t = L - 1 F s

Então, no nosso caso, devemos antes de tudo procurar quem é a transformada inversa de...

f t = L - 1 s + 1 s + 2 s + 3

Passo 2

Ora, como temos um produto no denominador, acho interessante a gente fazer uma separação em frações parciais:

s + 1 s + 2 s + 3 = A s + 2 + B s + 3

Onde o intuito é descobrir quem são A e B ! Podemos fazer assim:

  1. Colocar as frações em uma só: faça o produto dos denominadores e usa aquela regrinha de divide pelo de baixo e multiplica pelo de cima, como se tivesse somando duas frações qualquer:
  2. A s + 2 + B s + 3 = A s + 3 + B s + 2 s + 2 s + 3

  3. Igualar as duas frações:
  4. s + 1 s + 2 s + 3 = A s + 3 + B s + 2 s + 2 s + 3

  5. Eliminar os denominadores:
  6. s + 1 = A s + 3 + B s + 2

  7. Rearranjar os parênteses do lado direito:
  8. s + 1 = s + 3 A + B s + 2 B   →

    s + 1 = A + B s + 3 A + 2 B  

  9. Igualar os coeficientes, ou seja, o que multiplica s deve ser igual e o que não multiplica deve ser igual a quem não multiplica:
  10. A + B = 1

    3 A + 2 B = 1

  11. Resolver o sistema:

3 1 - B + 2 B = 1   →

3 - 3 B + 2 B = 1     →

- B = - 2       →

B = 2

A = 1 - B = - 1

Então por frações parciais...

s + 1 s + 2 s + 3 = - 1 s + 2 + 2 s + 3 =

- 1 s + 2 + 2 1 s + 3  

Passo 3

Agora podemos voltar para o problema do cálculo da inversa:

f t = L - 1 s + 1 s + 2 s + 3 =

L - 1 - 1 s + 2 + 2 1 s + 3

Separando...

f t = - L - 1 1 s + 2 + 2 L - 1 1 s + 3

Ora, a transformada inversa de 1 / s é:

L - 1 1 s = u t

Mas, como estamos deslocados em s , isso significa que devemos usar:

L - 1 G s - a = e a t g t

Assim, considerando g t como u t , se a for igual a - 2 no primeiro caso...

L - 1 1 s + 2 = e - 2 t u t

E no segundo caso, a = - 3 ...

L - 1 1 s + 3 = e - 3 t u t

Então...

f t = - L - 1 1 s + 2 + 2 L - 1 1 s + 3 =

f t = - e - 2 t u t + 2 e - 3 t u t

Passo 4

Finalmente, para encontrar o valor inicial da função, basta substituir o t = 0 e ver que valor vamos ganhar:

f t = - e - 2 t u t + 2 e - 3 t u t   →

f 0 = - e 0 u 0 + 2 e 0 u 0   →

Ora, a função degrau em t = 0 já é igual a 1 , por definição:

u t = 0 ,           t < 0 1 ,         0 ≤ t

Então...

f 0 = - 1 + 2 ⋅ 1 =

1

Resposta

D )   1

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