Verifique o Corolário 1 usando a mesma função e a mesma linha de contorno do Exemplo 1.11, mas calculando a integral sobre os cinco lados do cubo da figura 1.35. A face de trás do cubo é aberta.

Passo 1

Vamos lá. Temos a seguinte função:

  v = 2 x z + 3 y 2   y ^ + 4 y z 2   z ^

De acordo com o Corolário 1, temos:

∫ ∇ × v d a = 4 3

Então, temos que:

∇ × v = i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z 0 2 x z + 3 y 2 4 y z 2

∇ × v = ∂ ∂ y 4 y z 2 - ∂ ∂ z 2 x z + 3 y 2 i ^ + ∂ ∂ z 0 - ∂ ∂ x 4 y z 2 j ^ + ∂ ∂ x 2 x z + 3 y 2 - ∂ ∂ y 0 k ^

∇ × v = 4 z 2 - 2 x i ^ + 0 - 0 j ^ + 2 z - 0 k ^

∇ × v = 4 z 2 - 2 x i ^ + 0 j ^ + 2 z k ^

Passo 2

Para a integral de linha, vamos considerar os cincos segmentos:

∇ × v = 4 z 2 - 2 x i ^ + 0 j ^ + 2 z k ^

Para ( i ) :

z : 0 → 1   ,     y : 0 → 1

x = 1   ,     d a = d y d z   x ^ = 0

∫ ∇ × v ∙ d a = ∫ 0 1 ∫ 0 1 4 z 2 - 2 x d y d z = ∫ 0 1 ∫ 0 1 4 z 2 - 2 d y d z

∫ ∇ × v ∙ d a = ∫ 0 1 4 z 2 - 2 d z

∫ ∇ × v ∙ d a = 4 z 3 3 0 1 - 2 z 0 1 = 4 3 - 1 = - 2 3

Para ( i i ) :

x : 0 → 1   ,     y : 0 → 1

z = 0   ,     d a = - d x d y   z ^  

∫ ∇ × v ∙ d a = - ∫ 0 1 ∫ 0 1 2 z d x d y = - ∫ 0 1 ∫ 0 1 2 ∙ 0 d x d y = 0

Para ( i i i ) :

x :   0 → 1   ,     z : 0 → 1

y = 1   ,     d a = d x d z   y ^

∳ v ∙ d l = ∫ 0 1 ∫ 0 1 0 d x d z = 0

Para ( i v ) :

x : 0 → 1   ,     z : 0 → 1

y = 0   ,     d a = - d x d z   y ^

∳ v ∙ d l = - ∫ 0 1 ∫ 0 1 0 d x d z = 0

Para ( v ) :

x : 0 → 1   ,     y : 0 → 1

z = 1   ,     d a = d x d y   z ^

∳ v ∙ d l = ∫ 0 1 ∫ 0 1 2 z d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 1 2 ∙ 1 d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 1 2 d x d y = 2

Então, somando os cinco segmentos teremos:

∫ ∇ × v d a = - 2 3 + 0 + 0 + 0 + 2 = 4 3

Resposta

Assim verificamos o Corolário 1 para a função v = 2 x z + 3 y 2   y ^ + 4 y z 2   z ^ usando a figura dada. Ficou claro?