Verifique a Equação 12.29, usando a Equação 12.27. [Isto só prova a invariância do produto escalar para transformações ao longo da direção x . Mas o produto escalar é também invariante sob rotações, já que o primeiro termo não é afetado de forma alguma e os últimos três constituem o produto escalar tridimensional a ∙ b . Com uma rotação adequada, a direção x pode apontar em qualquer sentido que você desejar, de forma que o produto escalar quadrimensional é de fato invariante sob transformações de Lorentz arbitrárias.]

Passo 1

De acordo com o comando que nos foi dado, temos:

- a - 0 b - 0 + a - 1 b - 1 + a - 2 b - 2 + a - 3 b - 3 = - γ 2 a 0 - β a 1 b 0 - β b 1

+ γ 2 a 1 - β a 0 b 1 - β a 0 + a 2 b 2 + a 3 b 3

= - γ a 0 b 0 - β a 0 b 1 - β a 1 b 0 + β 2 a 1 b 1 - a 1 b 1 + β a 1 b 0 + β a 0 b 1 - β 2 a 0 b 0

+ a 2 b 2 + a 3 b 3

= - γ 2 a 0 b 0 1 - β 2 + γ 2 a 1 b 1 1 - β 2 + a 2 b 2 + a 3 b 3

= - a 0 b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3

(Como queríamos demonstrar!)

Resposta

Ver Passo 1.