Verifique se a Equação 2.29 satisfaz a equação de Poisson, aplicando o Laplaciano e usando a Equação 1.102

Passo 1

Faaala, pessoal! Bora resolver essa questãozinha. O enunciado nos pediu que a gente verificasse se a seguinte equação;

                      V r = 1 4 π ϵ 0 ∫ ρ ( r ' ) r d τ '                               ( 1 )

Satisfaz a equação de Poisson que é dada por:

          ∇ 2 V =   - ρ ϵ 0                               ( 2 )

E para fazer essa verificação devemos também utilizar a seguinte equação:

∇ 2 1 r =   - 4 π δ 3 r                       ( 3 )

Para isso, primeiramente vamos aplicar o Laplaciano à equação (1):

∇ 2 V = ∇ 2   1 4 π ϵ 0 ∫ ρ r ' r d τ '

Podemos, agora, rearrumar a equação da seguinte maneira:

∇ 2 V = 1 4 π ϵ 0 ∫ ρ r ' ∇ 2 1 r d τ '

Passo 2

Agora, podemos substituir aquele termo dentro da integral ∇ 2 1 r pela equação (3), como pedido pelo enunciado, para ficarmos com:

∇ 2 V =   1 4 π ϵ 0 ∫ ρ r ' - 4 π δ 3 r d τ '

Devemos lembrar que r é o vetor separação entre o ponto fonte e ponto de observação, logo é dado por:

r = r - r '

Portanto, nossa equação ficará:

∇ 2 V =   1 4 π ϵ 0 ∫ ρ r ' [ - 4 π δ 3 ( r - r ' ) ] d τ '

Podemos, também, colocar aquele termo constante para fora da integral e simplificar, para ficarmos com:

∇ 2 V =   - 4 π 4 π ϵ 0 ∫ ρ r ' [ δ 3 ( r - r ' ) ] d τ '

Logo:

∇ 2 V =   - 1 ϵ 0 ∫ ρ r ' [ δ 3 ( r - r ' ) ] d τ '

Passo 3

E finalmente, ficamos com uma função delta de dirac tridimensional. Sabemos que a integral de uma função delta de dirac tridimensional tem a solução da seguinte forma:

∫ f r δ 3 r - a = f ( a )

Caso a função não esteja centrada em zero, mas sim no ponto a , a solução será da seguinte forma:

∫ f a δ 3 r - a = f ( r )

Em que nesse caso, a vai representar nosso ponto de observação r ' . Aplicando a solução anterior a equação obtida no final do Passo 2, teremos:

∇ 2 V =   - 1 ϵ 0 ∫ ρ r ' [ δ 3 ( r - r ' ) ] d τ '

= - 1 ϵ 0 ρ r

Que é a resposta para o nosso problema!

E aqui finalizamos a questão, galera!! Até a próxima 😊

Resposta

- 1 ϵ 0 ρ r