Verifique se a Equação 2.29 satisfaz a equação de Poisson, aplicando o Laplaciano e usando a Equação 1.102
Passo 1
Faaala, pessoal! Bora resolver essa questãozinha. O enunciado nos pediu que a gente verificasse se a seguinte equação;
Satisfaz a equação de Poisson que é dada por:
E para fazer essa verificação devemos também utilizar a seguinte equação:
Para isso, primeiramente vamos aplicar o Laplaciano à equação (1):
Podemos, agora, rearrumar a equação da seguinte maneira:
Passo 2
Agora, podemos substituir aquele termo dentro da integral pela equação (3), como pedido pelo enunciado, para ficarmos com:
Devemos lembrar que é o vetor separação entre o ponto fonte e ponto de observação, logo é dado por:
Portanto, nossa equação ficará:
Podemos, também, colocar aquele termo constante para fora da integral e simplificar, para ficarmos com:
Logo:
Passo 3
E finalmente, ficamos com uma função delta de dirac tridimensional. Sabemos que a integral de uma função delta de dirac tridimensional tem a solução da seguinte forma:
Caso a função não esteja centrada em zero, mas sim no ponto , a solução será da seguinte forma:
Em que nesse caso, vai representar nosso ponto de observação . Aplicando a solução anterior a equação obtida no final do Passo 2, teremos:
Que é a resposta para o nosso problema!
E aqui finalizamos a questão, galera!! Até a próxima 😊