a) Verifique se a Equação 5.63 é coerente com a Equação 5.61, aplicando o divergente.

b) Verifique se a Equação 5.63 é coerente com a Equação 5.45, aplicando o rotacional.

c) Verifique se a Equação 5.63 é coerente com a Equação 5.62, aplicando o laplaciano.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A – O divergente é dado da seguinte forma:

∇ ∙ A = μ 0 4 π ∫ ∇ ∙ J r d r '

Sendo que

∇ ∙ J r = 1 r ∇ ∙ J + J ∙ ∇ 1 r

Mas o primeiro termo é zero, porque J ( r ' ) é uma função das coordenadas de origem, não das coordenadas de campo. E desde que

r = R - R ' ,     ∇ 1 r = - ∇ ' 1 r

Então, nós temos que

∇ ∙ 1 r = - J ∙ ∇ ' 1 r

Entretanto (prepare-se para o “algebrismo”),

∇ ' J r = 1 r ∇ ' ∙ J + J ∙ ∇ ' 1 r

Como ∇ ' ∙ J = 0 em magnetoestática, então

∇ ∙ 1 r = - ∇ ' ∙ 1 r

E, portanto, pelo teorema da divergência,

∇ ∙ A = - μ 0 4 π ∫ ∇ ' ∙ J r d r ' = - μ 0 4 π ∮ J r d a '

Onde a integral está agora sobre a superfície que circunda todas as correntes. Mas J = 0 nesta superfície, então

∇ ∙ A = 0

Passo 2

B – O rotacional é dado por

∇ × A = μ 0 4 π ∫ ∇ × J r d r '

Desenvolvendo um pouco mais

∇ × A = μ 0 4 π ∫ 1 r ∇ × J - J × ∇ 1 r d r '

Como ∇ × J = 0 (desde que J não é uma função de r ), e com isso,

∇ 1 r = - r ^ r 2

Com isso, finalmente nós temos o resultado de ∇ × A

∇ × A = μ 0 4 π ∫ J × r ^ r 2 d r ' = B   ∴

Passo 3

C – Nós temos que

∇ 2 A = μ 0 4 π ∫ ∇ 2 J r d r '

Entretanto, nós temos que

∇ 2 J r = J ∇ 2 1 r

Lembre-se que J será uma constante, então a “derivada” será em torno de r , tendo isso em mente, vamos revisitar outra coisinha

∇ 2 1 r = - 4 π δ 3 ( r )

Logo,

∇ 2 A = μ 0 4 π ∫ J ( r ' ) - 4 π δ 3 ( r ) d r ' = - μ 0 J ( r )

Resposta

a )   ∇ ∙ A = 0

b )   ∇ × A → = B →

c )   ∇ 2 A → = - μ 0 J →