Verifique se os potenciais para uma carga pontual em movimento a uma velocidade constante (equações 10.42 e 10.43) satisfazem a condição de calibre de Lorentz (Equação 10.12).

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Os potenciais escalares e vetoriais são os seguintes:

V = 1 4 π ϵ 0 q c c 2 t - r → ∙ t → 2 + c 2 - v 2 r 2 - c 2 t 2

Com isso, temos que o vetor A → é igual a

A → = v → c 2 V

Primeiro a derivada temporal do potencial:

- μ 0 ϵ 0 ∂ V ∂ t = - μ 0 q c 4 π - 1 2 2 c 2 t - r → ∙ t → c 2 + c 2 - v 2 - 2 c 2 t c 2 t - r → ∙ t → 2 + c 2 - v 2 r 2 - c 2 t 2 3 / 2

Que será igual a

- μ 0 ϵ 0 ∂ V ∂ t = μ 0 q c 3 4 π v 2 t - r → ∙ v → c 2 t - r → ∙ t → 2 + c 2 - v 2 r 2 - c 2 t 2 3 / 2

Passo 2

Agora, a divergência do potencial vetorial é a seguinte:

∇ ∙ A → = μ 0 q c 4 π ∇ ∙ v → c 2 t - r → ∙ t → 2 + c 2 - v 2 r 2 - c 2 t 2

Agora, ∇ ∙ f v → = f ∇ ∙ v → + c → ∙ ∇ f e a velocidade é uma função apenas do tempo, então o operador não age sobre a velocidade, portanto:

∇ ∙ A → = - 1 2 ∇ c 2 t - r → ∙ t → 2 + c 2 - v 2 r 2 - c 2 t 2 c 2 t - r → ∙ t → 2 + c 2 - v 2 r 2 - c 2 t 2 3 / 2

Finalmente, o potencial vetorial é:

A → = μ 0 q c 3 4 π v 2 t - r → ∙ v → c 2 t - r → ∙ t → 2 + c 2 - v 2 r 2 - c 2 t 2 3 / 2

E comparando (1) e (2) provamos que os potenciais satisfazem a medida de Lorenz.

Resposta

∇ ∙ A → = - μ 0 ϵ 0 ∂ V ∂ t