Verifique o teorema do divergente para a função

v = r 2 cos ⁡ θ r ^ + r 2 cos ⁡ ϕ θ ^ - r 2 cos ⁡ θ s e n   ϕ   ϕ ^

Usando como volume um octante de uma esfera de raio R (Figura 1.48). Certifique-se de incluir toda a superfície. [Resposta: π R 4 / 4 ]

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Tudo bemm?? Para resolvermos essa questão, vamos primeiro calcular o teorema do divergente para v acima. Depois vamos conferir o resultado calculando v . d a na superfície fechada do octante. Bora para o exemplo!!!

Passo 2

Calculando o divergente de v .

∇ . v = 1 r 2 ∂ ∂ r r 2 r 2 cos ⁡ θ + 1 r s e n   θ ∂ ∂ θ s e n   θ r 2 cos ⁡ θ = 1 r s e n   θ ∂ ∂ ϕ ( - r 2 cos ⁡ θ s e n   ϕ )

= 1 r 2 4 r 3 cos ⁡ θ + 1 r s e n   θ cos ⁡ θ r 2 cos ⁡ ϕ + 1 r s e n   θ ( - r 2 cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ )

= r cos ⁡ θ s e n   θ ( 4   s e n   θ + cos ⁡ ϕ - cos ⁡ ϕ )

∇ . v = 4 r cos ⁡ θ

Sendo assim, a integral do divergente de v no octante da esfera é:

∫ ∇ . v d r = ∫ ( 4 r cos ⁡ θ ) r 2 s e n   θ   d r   d θ   d ϕ

= 4 ∫ 0 R r 3 d r ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ s e n   θ d θ ∫ 0 π / 2 d ϕ

= R 4 1 2 π 2

∫ ∇ . v d r = R 4 π 4

Passo 3

Agora precisamos verificar o teorema que apresentamos acima:

A integral de superfície consiste em 4 partes. A total será a soma das 4 que iremos calcular.

Parte curvada:

d a = R 2 s e n   θ   d θ   d ϕ   r ^ ;         r = R

v . d a = ( R 2 cos ⁡ θ ) ( R 2 s e n   θ   d θ   d ϕ )

Então a integral dessa parte fica:

∫ v . d a = R 4 ∫ π / 2 π / 2 cos ⁡ θ s e n   θ d θ ∫ 0 π / 2 d ϕ

= R 4 1 2 π 2

∫ v . d a = R 4 π 4

Parte esquerda:

d a = - r   d r   d θ   ϕ ^ ;         ϕ = 0

v . d a = r 2 cos ⁡ θ s e n   ϕ r   d r   d θ = 0

∫ v . d a = 0

Parte direita:

d a = r   d r   d θ   ϕ ^ ;       ϕ = π / 2

v . d a = - r 2 cos ⁡ θ s e n   ϕ r   d r   d θ = - r 3 cos ⁡ θ d r   d θ

Montando a integral.

∫ v . d a = ∫ 0 R r 3 d θ ∫ 0 π 2 cos ⁡ θ d θ

= - 1 4 R 4 1

∫ v . d a = - R 4 4

Para o fundo do octante:

d a = r   s e n   d r   d ϕ   θ ^

v . d a = ( r 2 cos ⁡ ϕ ) ( r   d r   d ϕ )

Montando a integral.

∫ v . d a = ∫ 0 R r 3 d r ∫ 0 π 2 cos ⁡ ϕ d ϕ

∫ v . d a = R 4 4

Somando todas as superfícies calculadas:

∮ v . d a = π R 4 4 + 0 - R 4 4 + R 4 4

∮ v . d a = π R 4 4

Sendo assim, o teorema do divergente realmente confere!!!

Resposta

∮ v . d a = π R 4 4