Verifique o teorema do divergente para a função
Usando o volume do ‘cone de sorvete’. Mostrado na Figura 1.52 (a superfície é esférica, com raio e centrada na origem). [Resposta: ]
Passo 1
Falaaa, tudo beleza?? Vamos para mais uma!! Nesta questão, o enunciado nos pede para verificarmos o teorema divergente, que diz o seguinte:
Relaciona o volume integral de com uma integral de superfície fechada.
Temos que calcular os dois lados da igualdade. Bora lá!!
Passo 2
Em coordenadas esféricas , o divergente é definido em:
No nosso exemplo ficamos com:
Portanto, o lado esquerdo da igualdade do teorema divergente fica:
Passo 3
Para o lado direito da igualdade, vamos dividir o ‘cone de sorvete’ em duas superfícies, a superfície cônica será e a esférica .
Onde, em e em . Então, ficamos com:
Logo, verificamos o teorema do divergente achando o mesmo resultado nos dois lados da igualdade!!