Verifique o teorema do divergente para a função

v = r 2 s e n   θ   r ^ + 4 r 2 cos ⁡ θ θ ^ + r 2 t g   θ   ϕ ^

Usando o volume do ‘cone de sorvete’. Mostrado na Figura 1.52 (a superfície é esférica, com raio R e centrada na origem). [Resposta: ( π R 2 / 12 ) ( 2 π + 3 3 ) ]

Passo 1

Falaaa, tudo beleza?? Vamos para mais uma!! Nesta questão, o enunciado nos pede para verificarmos o teorema divergente, que diz o seguinte:

∭ V ∇ ∙ v d V = ∯ v ∙ d S

Relaciona o volume integral de ∇ ∙ v com uma integral de superfície fechada.

Temos que calcular os dois lados da igualdade. Bora lá!!

Passo 2

Em coordenadas esféricas ( r ,   ϕ ,   θ ) , o divergente é definido em:

∇ ∙ v = 1 r 2 ∂ ∂ r r 2 v r + 1 r s e n   θ ∂ ∂ θ v θ   s e n   θ + 1 r   s e n   θ ∂ v ϕ ∂ ϕ

No nosso exemplo ficamos com:

= 1 r 2 ∂ ∂ r r 2 r 2   s e n   θ + 1 r s e n   θ ∂ ∂ θ ( 4 r 2 cos ⁡ θ )   s e n   θ + 1 r   s e n   θ ∂ ∂ ϕ ( r 2 tan ⁡ θ )

= 1 r 2 ( 4 r 3   s e n   θ ) + 1 r   s e n   θ - 4 r 2 s e n   θ s e n   θ + 4 2 cos ⁡ θ cos ⁡ θ + 1 r   s e n   θ ( 0 )

∇ ∙ v = 4 r cos 2 ⁡ θ s e n   θ

Portanto, o lado esquerdo da igualdade do teorema divergente fica:

∭ V ∇ ∙ v d V = ∫ 0 π / 6 ∫ 0 2 π ∫ 0 R 4 r cos 2 ⁡ θ s e n   θ r 2   s e n   θ   d r   d ϕ   d θ

= ∫ 0 π / 6 ∫ 0 2 π ∫ 0 R 4 r 3 cos 2 ⁡ θ   d r d ϕ d θ

= 4 ∫ 0 π 6 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ d θ ∫ 0 2 π d ϕ ∫ 0 R r 3 d r

∭ V ∇ ∙ v d V = π R 4 12 2 π + 3 3

Passo 3

Para o lado direito da igualdade, vamos dividir o ‘cone de sorvete’ em duas superfícies, a superfície cônica será S 1 e a esférica S 2 .

∯ v ∙ d S = ∬ S 1 v ∙ d S + ∬ S 2 v ∙ d S

= ∫ 0 2 π ∫ 0 R ( r 2 s e n   θ   r ^ + 4 r 2 cos ⁡ θ θ ^ + r 2 tan ⁡ θ ϕ ^ ) ∙ ( r ^ R 2 s e n   θ   d ϕ   d θ ) + ∫ 0 π / 6 ∫ 0 2 π ( r 2 s e n   θ   r ^ + 4 r 2 cos ⁡ θ θ ^ + r 2 tan ⁡ θ ϕ ^ ) ∙ ( r ^ R 2 s e n   θ   d ϕ   d θ )

Onde, em S 1 θ = π / 6 e em S 2 r = R . Então, ficamos com:

= ∫ 0 2 π ∫ 0 R 4 r 3 s e n   ( π / 6 )   c o s ⁡ ( π / 6 ) d r d ϕ + ∫ 0 π / 6 ∫ 0 2 π R 4   s e n 2   θ   d ϕ d θ

= 3 4 2 π R 4 + R 4 1 24 2 π - 3 3 2 π  

∯ v ∙ d S = π R 4 12 2 π + 3 3

Logo, verificamos o teorema do divergente achando o mesmo resultado nos dois lados da igualdade!!

Resposta

π R 4 12 2 π + 3 3